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湖北省荆州市2013届高中毕业班质量检查(II)数学（文）试题 本试卷共三大题２２道小题，满分１５０分，考试用时１２０分钟。 注意事项： １答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试卷答题卡上。 ２第１至１０小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第１１至２２题用０．５毫米黑色签字笔在答题 卡上作答，答在试题卷上的无效。 ３．考试结束，只交答题卡。 本科目考试时间：２０１３年３月１２日下午１５∶００———１７∶００ 一、选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，多涂、不涂或涂错均得０分． １．已知复数ｚ满足ｚｉ＝１＋ｉ，则ｚ＝ Ａ．１＋ｉ Ｂ．ｉ Ｃ．－ｉ Ｄ．１－ｉ ２．某班有５４名同学，准备派６名同学参加某高校组织的夏令营活动。现将５４名同学编号（１ ～５４），用系统抽样的方法抽取，已知５号在样本中，则样本中最大的号码是 Ａ．５０ Ｂ．５１ Ｃ．５２ Ｄ．５３ ３．已知集合Ａ＝｛ｘ│≥０｝，集合Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ｝，则Ｂ∩ＣＲＡ＝ Ａ．Φ Ｂ．｛－１｝ Ｃ．｛１｝ Ｄ．｛－１，１｝ ４．已知变量ｘ，ｙ满足约束条件，则目标函数ｚ＝３ｘ＋ｙ的最小值为 Ａ．１２ Ｂ．１１ Ｃ．８ Ｄ．－１ ５．设l，ｍ，ｎ为不重合的三条直线，其中直线ｍ，ｎ在平面α内，则“ｌ⊥α”是“l⊥ｍ且l⊥ｎ”的 Ａ．充要条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ６．某程序的流程图如图所示，若使输出的结果不大于３８，则输入的整数ｉ的最大值为 Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ７．在△ＡＢＣ中，Ｏ是中线ＡＭ上一个动点，若ＡＭ＝４，则的最小值是 Ａ．－４ Ｂ．－８ Ｃ．－１０ Ｄ．－１２ ８．设一个四面体的体积为Ｖ１，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为Ｖ２，则Ｖ２/Ｖ１为 Ａ．１/２ Ｂ．２/３ Ｃ．３/４ Ｄ．５/６ ９．以下四个命题 （１）在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｂｓｉｎＡ＝ ａｃｏｓＢ，则Ｂ＝π/４； （２）设ａ，ｂ是两个非零向量且│ａ·ｂ│ ＝│ａ│·│ｂ│，则存在实数λ，使得ｂ＝λａ； （３）函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ－ｘ在Ｒ上的零点有且仅有一个； （４）ａ，ｂ∈Ｒ且，则ａ＞ｂ． 其中正确的个数有 Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 １０．已知函数ｆ（ｘ）在Ｒ上可导，下列四个选项中正确的是 Ａ．若ｆ（ｘ）＞ｆ＇（ｘ）对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｅｆ（１）＜ｆ（２） Ｂ．若ｆ（ｘ）＜ｆ＇（ｘ）对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｆ（－１）＞ｆ（１） Ｃ．若ｆ（ｘ）＋ｆ＇（ｘ）＞０对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｅｆ（２）＜ｆ（１） Ｄ．若ｆ（ｘ）＋ｆ＇（ｘ）＜０对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｆ（－１）＞ｆ（１） 二、填空题：本大题共７小题，每小题５分，共３５分，把答案填在答题卡中相应的横线上． １１．若函数ｆ（ｘ）＝为奇函数，则实数ｍ＝ ． １２．已知｛ａｎ｝是等比数列，ａ４＝４，ａ７＝１/２，则其公比ｑ＝ ． １３．一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与底面三角形的腰长相等，其体积为４，它的三视图中俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ． １４．已知α为第三象限的角，ｃｏｓ２α＝－３/５，则ｔａｎ（π/４＋２α）＝ ． １５．若函数ｆ（ｘ）＝，则函数ｆ（ｆ（ｘ））的值域是 ． １６．已知椭圆＝１的左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，过椭圆的右焦点Ｆ２作一条直线l交椭圆于点Ｐ、Ｑ，则（１）△Ｆ１ＰＱ的周长是 ；（２）△Ｆ１ＰＱ内切圆面积的最大值是 ． １７．点Ｏ是等腰Ｒｔ△ＡＢＣ底边ＢＣ的中点，ＡＢ＝１，过点Ｏ的动直线与两腰或其延长线的交点为Ｑ、Ｒ，则有Ｓ△ＡＱＲ ＝Ｓ△ＡＯＱ ＋Ｓ△ＡＯＲ，所以＝ ；类比平面结论，拓展到空间有： 设Ｏ是正三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的面ＡＢＣ 的中心，ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ两两垂直且ＰＡ＝１，过点Ｏ的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Ｑ、Ｒ、Ｓ，则有 ． 三、解答题：本大题共５小题，共６５分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １８．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝． （１）求函数ｆ（ｘ）图像的对称轴方程及最小值； （２）已知ｆ（α－π/８）＝，α∈（０，π/４），求ｆ（α/２）的值． １９．（本小题满分１２分）在等差数列｛｝中，＝３，其前ｎ项和为Ｓｎ；在各项均为正数的等比数列｛ｂｎ｝中，ｂ１＝１，且ｂ２＋Ｓ２＝１２，Ｓ５＝５ｂ３． （１）求｛｝与｛ｂｎ｝的通项公式； （２）设数列｛ｃｎ｝满足ｃｎ＝，求数列｛ｃｎ｝前ｎ项和Ｔｎ，并证明Ｔｎ＜０（ｎ∈）． ２０．（本小题满分１３分）２０１３年６月６日是第１８个全国“爱眼日”．某校为了解学生近视情况，决定按１０％的比例对高一、高二近视在１００度以上的７００名学生按年级进行抽样检查，测得近视度的频数分布表如下表１、表２． 表１：高二年级学生近视度频数分布表 表２：高一年级学生近视度频数分布表 （１）求该校高二年级近视在１００度以上的人数并完成下面频率分布直方图； （２）估计高一年级学生近视度的平均值； （３）从样本中近视度在［５００，７００）之间的学生中任选２人，求至少有１人近视度在［６００，７００）之间的概率． ２１．（本小题满分１４分）已知圆Ｃ：＝８及点Ｆ（１，０），Ｐ为圆Ｃ上一动点，在同一坐标平面内的动点Ｍ满足：,││＝││． （１）求动点Ｍ的轨迹Ｅ的方程； （２）过点Ｆ作直线l与（１）中轨迹Ｅ交于不同两点Ｒ，Ｓ，设＝λ，λ∈［－２，－１），求直线l的纵截距的取值范围． ２２．（本小题满分１４分）已知ｆ（ｘ）＝． （１）当ａ＞０时，求函数ｆ（ｘ）的最小值； （２）当ａ＝１时，是否存在过点（１，－１）的直线与函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由； （３）求证：对任意正整数ｎ均有 .
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