2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷（四）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．在复平面内，复数
对应的点位于

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2．下列四个命题中，假命题为

(A)
，
(B)
，

(C)
，
(D)
，

3．已知a>0且a≠1，函数
，
，
在同一坐标系中的图象可能是



(A) (B) (C) (D)

4．参数方程
为参数
和极坐标方程
所表示的图形分别是

(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆

5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是

(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 48

6．已知函数
的图象如图所示，则该函数的解析式可能是

(A)

(B)

(C)

(D)

7．已知直线l：
(A，B不全为0)，两点
，
，若
，且
，则

(A) 直线l与直线P1P2不相交 (B) 直线l与线段P2 P1的延长线相交

(C) 直线l与线段P1 P2的延长线相交 (D) 直线l与线段P1P2相交

8．已知函数
，
(a>0)，若
，
，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．圆C：
的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 ．

10．如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知

∠D=46°，则∠A= ．

11．函数
的最小正周期为 ，最大值为 ．

12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．



13．如果执行上面的程序框图，那么输出的a =___．

14．如图所示，∠AOB=1rad，点Al，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M到达An点处所需要的时间为　　　　秒．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知等差数列
的前
项和为
，a2=4， S5=35．

（Ⅰ）求数列
的前
项和
；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列
的前n项和
．

16.（本小题共14分）

张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
．

（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数
的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

17.（本小题共13分）

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△
，使得平面
⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：
平面ABD；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

18.（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
在
处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值．

19.（本小题共14分）

已知抛物线P：x2=2py (p>0)．

（Ⅰ）若抛物线上点
到焦点F的距离为
．

（ⅰ）求抛物线
的方程；

（ⅱ）设抛物线
的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线
的切线，求此切线方程；

（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接
，
并延长分别交抛物线的准线于C，

D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

20.（本小题共13分）

用
表示不大于
的最大整数．令集合
，对任意
和
，定义
，集合
，并将集合
中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值；

（Ⅲ）求证：在数列
中，不大于
的项共有
项．

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷（四）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

C

D

B

A

C

D





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．3 10．67° 11．
，

12．12 13．
14．6，

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知等差数列
的前
项和为
，a2=4， S5=35．

（Ⅰ）求数列
的前
项和
；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列
的前n项的和
．

解：（Ⅰ）设数列
的首项为a1，公差为d．

则
∴
， ………………5分

∴
．

∴ 前
项和
． ………………7分

（Ⅱ）∵
，

∴
，且b1=e． ………………8分

当n≥2时，

为定值， ………………10分

∴ 数列
构成首项为e，公比为e3的等比数列． ………………11分

∴
． ………………13分

数列
的前n项的和是
．

16.（本小题共14分）

张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
．

（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数
的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则

． ………………4分

所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为
．

（Ⅱ）依题意，
的可能取值为0，1，2． ………………5分

，

，

． ………………8分

随机变量
的分布列为：

0

1

2



P










． ………………10分

（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为
，随机变量
服从二项分布，
，

所以
． ………………12分

因为
，所以选择L2路线上班最好． ………………14分

17.（本小题共13分）

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△
，使得平面
⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：
平面ABD；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即
，

故
． ………………2分

∵平面
⊥平面
，平面

平面
=
，
平面
，

∴
平面
． ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面ABD，且
，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系
． ………………6分

则
，
，
，
．

∵E是线段AD的中点，

∴
，
．

在平面
中，
，
，

设平面
法向量为
，

∴
，即
，

令
，得
，故
． ………………8分

设直线
与平面
所成角为
，则

． ………………9分

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面
的法向量为
，

而平面
的法向量为
，

∴
，

因为二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ………………13分

18.（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
在
处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值．

解：（Ⅰ）∵
， ∴函数的定义域为
． ………1分

∴
．…3分

∵
在
处取得极值，

即
，

∴
． ………………5分

当
时，在
内
，在
内
，

∴
是函数
的极小值点． ∴
． ………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
． ………………7分

∵ x∈
， ∴
，

∴
在
上单调递增；在
上单调递减， …………9分

①当
时，
在
单调递增，

∴
； ………………10分

②当
，即