2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷（四）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合A =
, B =
，则A
B等于

A.
B.

C.
D.

2.已知
，
，则
的值是

A. －
B. －
C.
D.

3.等差数列
中，
，则
等于

A. 7 B. 14 C. 28 D. 3.5

4.已知直线
，平面
，且
，那么“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.椭圆两焦点为
，
，P在椭圆上，若△
的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为

A.
B.

C.
D.

6.通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示：

那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有

A. 58万 B. 66万 C. 116万 D. 132万

7.投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为正实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实验，若两次面向上的点数相等我们称其为无效。那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是

A.
B.
C.
D.

8.已知函数
满足：①
，
，②
，
，则

A.
是偶函数且在
上单调递减 B.
是偶函数且在
上单调递增

C.
是奇函数且单调递减 D.
是奇函数且单调递增

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．

9.向量
， 向量
=2，若
，那么向量
的夹角是

10.一几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的体积是




11.右上图所示为一个判断直线
与圆
的位置关系的程序框图的一部分，在？处应该填上 .

12.在长度为1的线段
上随机的选取一点
， 则得到
的概率是 .

13.已知函数
，若
，则实数
的值是 .

14.已知定义在R上的函数
是周期函数，且满足
，函数
的最小正周期为

三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）

在
中，
分别为角
的对边，且

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，试判断
的形状.

16.（本小题满分13分）

如图所示，
垂直矩形
所在的平面，
分别为
的中点.

(Ⅰ) 求证
；

（Ⅱ）求证
.

17.（本小题满分13分）

已知曲线
满足下列条件：

①过原点；②在
处导数为－1；③在
处切线方程为
.

(Ⅰ) 求实数
的值；

（Ⅱ）求函数
的极值.

18.（本小题满分14分）

已知双曲线
=1
的两个焦点为
、
，P是双曲线上的一点，

且满足
，

(Ⅰ)求
的值；

（Ⅱ）抛物线
的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.

19.（本小题满分14分）

已知数列
满足以下两个条件：

①点
在直线
上，

②首项
是方程
的整数解，

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列
的前
项和为
，等比数列
中，
，
，

数列
的前
项和为
，解不等式
.

20.（本小题满分13分）

(Ⅰ)已知
，
，求证：
；

（Ⅱ）若
，
，求证：
.

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷（四）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

B

D

A

C

C

D





二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．有两个空的前一个2分后一个3分。

题号

9

10

11

12

13

14



答案

















三、解答题：本题共6小题，共80分，解答仅供参考，如有其它解法按相应步骤给分。

15.解：（Ⅰ）由正弦定理
及已知，得

…………2分

整理，得
…………3分

有余弦定理
，得
…………5分

在
中，
，所以
…………7分

（Ⅱ）由正弦定理
及已知，得

…………9分

即

结合
及已知
解得

即
…………12分

因此
是一个等腰钝角三角形 …………13分

16.

证明：(Ⅰ)取
中点
，连结
、
，

因为
分别为
的中点，所以
，

，…………2分

又在矩形
中

，所以

，

所以四边形
是平行四边形，所以

…………5分

又，
，
.所以
…………7分

（Ⅱ）因为
，所以
在矩形
中

又
，所以
， …………11分

因为
所以
， 因为
所以
………13分

17. 解 (Ⅰ)
根据条件有

解得
…………6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)
，
…………7分

令
得
…………9分

的关系如表所示



－1











+

0

－

0

+





↑

极大值1

↓

极小值

↑





因此函数
在
处有极大值1，在
处有极小值
。……13分

18. 解 （I）根据题意
，
…………2分，

又，
，
，又|P F
|?|PF
|=| F
F
|
=
， |P F
|<4， 得
在区间（0,4）上有解， 所以
…………4分

因此
，又
，所以
…………6分

（II）双曲线方程为
=1，右顶点坐标为（2,0），即
…………7分

所以抛物线方程为
直线方程为
…………9分

由（1）（2）两式联立，解得
和
…………11分

所以弦长|AB|=
=16 …………14分

19. 解 （I）根据已知
，
即
， …………2分

所以数列
是一个等差数列，
…………4分

（II）数列
的前
项和
…………6分

等比数列
中，
，
，所以
，
…………9分

数列
的前
项和
…………11分

即
，又
，所以
或2 …………14分

20. 证明：（I）构造函数
…………2分

因为对一切x(R，恒有
≥0，所以
≤0, …………4分

从而得
， …………6分

（II）构造函数
…………8分

…………10分

因为对一切x(R，都有
≥0，所以△=
≤0,

从而证得：
. …………13分