2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷（十）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 复数
在复平面上对应的点的坐标是

A．
B.
C.
D.

2. 已知全集
集合
,
，下图中阴影部分所表示的集合为

A
B.

C.
D.

3．函数
的零点所在区间

A．
B.
C.
D.

4.若直线
的参数方程为
，则直线
倾斜角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：









甲



乙



















9

8

8

1

7

7

9

9













6

1

0

2

2

5

6

7

9

9







5

3

2

0

3

0

2

3















7

1

0

4















根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是

A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数

C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

7．若椭圆
：
（
）和椭圆
：
（
）

的焦点相同且
.给出如下四个结论：

椭圆
和椭圆
一定没有公共点； ②
；

③
； ④
.

其中，所有正确结论的序号是

A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③

8. 在一个正方体
中，
为正方形
四边上的动点，
为底面正方形
的中心，
分别为
中点，点
为平面
内一点，线段
与
互相平分，则满足
的实数
的值有

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9．点
在不等式组
表示的平面区域内，则
的最大值为_______.

10．运行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 .

11．若
，

其中
，则实数
的值为 ；

的值为 .

12．如图，已知
的弦
交半径
于点
，若
，

，且
为
的中点，则
的长为 .

13．已知数列
满足
，

，记数列
的前
项和的最大值为
，则
.

14. 已知函数

（1）判断下列三个命题的真假：

①
是偶函数；②
；③当
时，
取得极小值.

其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）

（2）满足
的正整数
的最小值为___________.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

已知函数

的最小正周期为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间及其图象的对称轴方程.

16.（本小题共13分）

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用
表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求
的分布列和数学期望.

17.(本小题共14分)

如图，四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
和
是两个边长为
的正三角形，
，
为
的中点，
为
的中点．

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求证：
平面
；

(Ⅲ)求直线
与平面
所成角的正弦值．

18. (本小题共14分）

已知函数
.
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线方程（
）；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

19．(本小题共13分）

在平面直角坐标系
中，设点
，以线段
为直径的圆经过原点
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与轨迹
交于两点
，点
关于
轴的对称点为
，试判断直线
是否恒过一定点，并证明你的结论.

20. (本小题共13分）

对于数列
，若满足
，则称数列
为“0-1数列”.定义变换
，
将“0-1数列”
中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如
:1,0,1，则
设
是“0-1数列”，令

3，….

(Ⅰ) 若数列
：
求数列
；

(Ⅱ) 若数列
共有10项，则数列
中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；

(Ⅲ)若
为0，1，记数列
中连续两项都是0的数对个数为
，
.求
关于
的表达式.

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷（十）参考答案

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

C

B

D

C

B

C





二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9. 6 10. 11 11.
，

12.
13.
14. ①② , 9

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15. （共13分）

解：（Ⅰ）
………………………2分

, …………………………3分

因为
最小正周期为
,所以
，解得
, …………………………4分

所以
, ………………………… 5分

所以
. …………………………6分

（Ⅱ）分别由
，

可得
，
………………8分

所以,函数
的单调增区间为
；

的单调减区间为
………………………10分

由
得
.

所以，
图象的对称轴方程为
. …………………………13分

16.（共13分）

解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为
,…………………1分

由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是
， ……………………3分

则
. ………………………6分

(Ⅱ)
的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分

由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为
，且每个人下电梯互不影响，

所以，
. ……………………………9分

0

1

2

3

4

















 ………………………………11分

. ………………………………13分

17.(共14分)

（Ⅰ）证明：设
为
的中点，连接
，则

∵
，
，
，

∴四边形
为正方形，

∵
为
的中点，

∴
为
的交点，

∵
，

∴
， ………………………………2分

∵

，

∴

，
，

在三角形
中，
，∴
，……………………………4分

∵
，∴
平面
； ……………………………5分

(Ⅱ)方法1：连接
，∵
为
的中点，
为
中点，

∴
，

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. ……………………………9分

方法2：由(Ⅰ)知
平面
，又
，所以过
分别做
的平行线，以它们做
轴，以
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：

，
，

，
，
，

，

则
，
，
，
.

∴

∴

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
； …………………………………9分

(Ⅲ) 设平面