2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷（三）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）“
”是“
”的

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（2）已知数列
为等差数列，且
，
，那么则
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）已知函数
对任意的

有
，且当
时，
，则函数
的大致图像为

（A） （B） （C） （D）

（4）已知平面上不重合的四点
，
，
，
满足
，且
，那么实数
的值为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）若右边的程序框图输出的
是
，则条件①可为

（A）
　　　　　 （B）

（C）
（D）

（6）已知
,
,那么
的值为

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）已知函数
，那么在下列区间中含有函数
零点的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面
，
，
两两互相垂直，点
∈
，点
到
，
的距离都是
，点
是
上的动点，满足
到
的距离是
到点
距离的
倍，则点
的轨迹上的点到
的距离的最小值是

（A）　
　　 （B）
　　　

（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如果
是实数,那么实数
　　　　　．

（10）已知曲线
的参数方程为
（
为参数），则曲线上点
到直线
的距离的最大值为 ．

（11）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为　　　　　kg；若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．

（12）如图，已知圆
的半径为
，从圆
外一点
引切线
和割线
，圆心
到
的距离为
，
，则切线
的长为 ．

（13）过抛物线
的焦点作倾斜角为
的直线，与抛物线分别交于
，
两点（点
在
轴上方），
　　　　　 ．

（14）已知数列
满足：
，
，
，
，
，且当n≥5时，
，若数列
满足对任意
，有
，则b5= 　　　 ；当n≥5时，
　　　　　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
分，且满足
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，求△
面积的最大值．

（16）（本小题共14分）

已知四棱锥
的底面是菱形．
，
，
，
与
交于
点，
，
分别为
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

（17）（本小题共13分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为
，乙、丙面试合格的概率都是
，且面试是否合格互不影响．

（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；

（Ⅱ）求签约人数
的分布列和数学期望．

（18）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
在区间
上的最小值；

（Ⅱ）证明：对任意
，都有
成立．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
的离心率为
，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
，
两点，线段
的垂直平分线与
轴相交于点
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围；

（Ⅲ）试用
表示△
的面积，并求面积的最大值．

(20) （本小题共14分）

对于
，定义一个如下数阵：

其中对任意的
，
，当
能整除
时，
；当
不能整除
时，
．设
．

（Ⅰ）当
时，试写出数阵
并计算
；

（Ⅱ）若
表示不超过
的最大整数，求证：

；

（Ⅲ）若
，
，求证：
．

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷（三）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）B （3）A （4）C

（5）C （6）B （7）B （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）

（12）

（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
，

所以

由正弦定理，得
．

整理得
．

所以
．

在△
中，
．

所以
，
．

（Ⅱ）由余弦定理
，
．

所以

所以
，当且仅当
时取“=” ．

所以三角形的面积
．

所以三角形面积的最大值为
．

（16）（共14分）

（Ⅰ）证明：因为
，
分别为
，
的中点，

所以
∥
．

又
平面
,
平面
．

所以
∥平面
．

（Ⅱ）证明：连结
，

因为
，

所以
．

在菱形
中，
，

又因为
，

所以
平面
．

又
平面
，

所以

．

在直角三角形
中，
，
，

所以
．

又
，
为
的中点，所以
．

又因为
所以
平面
．

（Ⅲ）解：过点
作
∥
，所以
平面
．

如图，以
为原点，
，
，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系．

可得，
，
，
，　　

，
．

所以
，
，

．

设
是平面
的一个法向量，则

，即
，

令
，则
．

设直线
与平面
所成的角为
，可得
．

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

且
.

至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

∴
的分布列是

0

1

2

3

















的期望

（18）（共13分）

（Ⅰ）解：由
，可得
．

当
单调递减，

当
单调递增.

所以函数
在区间
上单调递增，

又
，

所以函数
在区间
上的最小值为
．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知
在
时取得最小值，

又
，

可知
．

由
，可得
．

所以当
单调递增，

当
单调递减.

所以函数
在
时取得最大值，

又
，

可知
，

所以对任意
，都有
成立．

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）依题意可得，