2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷（六）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合
，
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 设
，
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

4．设向量
，
，且
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为
，则①处应填的数字为

（A）
（B）

（C）
（D）

6.已知函数①
，②
，则下列结论正确的是

（A）两个函数的图象均关于点
成中心对称

（B）两个函数的图象均关于直线
成中心对称

（C）两个函数在区间
上都是单调递增函数

（D）两个函数的最小正周期相同

7．已知曲线
及两点
和
，其中
.过
，
分别作
轴的垂线，交曲线
于
，
两点，直线
与
轴交于点
，那么

（A）
成等差数列 （B）
成等比数列

（C）
成等差数列 （D）
成等比数列

8．如图，四面体
的三条棱
两两垂直，
,
，
为四面体
外一点.给出下列命题.

①不存在点
,使四面体
有三个面是直角三角形

②不存在点
,使四面体
是正三棱锥

③存在点
,使
与
垂直并且相等

④存在无数个点
,使点
在四面体
的外接球面上

其中真命题的序号是

（A）①② （B）②③

（C）③ （D）③④

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 在复平面内，复数
对应的点到原点的距离为_____.

10.如图，从圆
外一点
引圆
的切线
和割线
，已知
，
，圆心
到
的距离为
，则圆
的半径为_____.

11.已知椭圆

经过点
，则
______，离心率
______.

12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.

13.某展室有9个展台，现有
件展品需要展出，要求每件展品独自占用
个展台，并且
件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求
件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.

14.已知数列
的各项均为正整数，对于
，有

当
时，
______；

若存在
，当
且
为奇数时，
恒为常数
，则
的值为______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

设
中的内角
，
，
所对的边长分别为
，
，
，且
,
.

（Ⅰ）当
时，求角
的度数；（Ⅱ）求
面积的最大值.

16．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为
.

（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；

（Ⅱ）求
的值；

（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为
，求
的分布列和数学期望
.

17.（本小题满分13分）

如图,
是边长为
的正方形，
平面
，
，
，
与平面
所成角为
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）设点
是线段
上一个动点，试确定点
的位置，使得
平面
，并证明你的结论.

18. （本小题满分14分）

已知函数
，其中
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若直线
是曲线
的切线，求实数
的值；

（Ⅲ）设
，求
在区间
上的最大值.

（其中
为自然对数的底数）

19. （本小题满分14分）

已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交
轴正半轴于点
，交抛物线于
两点，其中点
在第一象限.

（Ⅰ）求证：以线段
为直径的圆与
轴相切；

（Ⅱ）若
,
,
，求
的取值范围.

20.（本小题满分13分）

定义

为有限项数列
的波动强度.

（Ⅰ）当
时，求
；

（Ⅱ）若数列
满足
，求证：
；

（Ⅲ）设
各项均不相等，且交换数列
中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列
一定是递增数列或递减数列.

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷（六）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

A

D

B

C

A

D





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.
10.
11.
，

12.
13.
，
14.
；
或

注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
，所以
. ……………………2分

因为
，
，由正弦定理
可得
. …………………4分

因为
，所以
是锐角，

所以
. ……………………6分

（Ⅱ）因为
的面积
， ……………………7分

所以当
最大时，
的面积最大.

因为
，所以
. ……………………9分

因为
，所以
， ……………………11分

所以
，（当
时等号成立） ……………………12分

所以
面积的最大值为
. ……………………13分

16.（本小题满分13分）

解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件
，依题意有

且
相互独立.

（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

. …………………3分

（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件
，则有

＝
， …………………5分

所以
，
. ……………………7分

（Ⅲ）
的所有可能取值为
. ……………………8分

所以
，

，

，

=

＝
. ……………………11分

分布列为：























 ……………………12分

所以，
. ……………………13分

17.（本小题满分13分）

(Ⅰ)证明： 因为
平面
，

所以
. ……………………2分

因为
是正方形，

所以
，

从而
平面
. ……………………4分

(Ⅱ)解：因为
两两垂直，

所以建立空间直角坐标系
如图所示.

因为
与平面
所成角为
，即
，……5分

所以
.

由
可知
，
. ………6分

则
，
，
，
，
，

所以
，
， ………7分

设平面
的法向量为

，则
，即
，

令
，则

. …………………8分

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
. …………………9分

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
.………………10分

(Ⅲ)解：点
是线段
上一个动点，设
.

则
，

因为
平面
，

所以

， …………………11分

即
，解得
. …………………12分

此时，点
坐标为
，
，符合题意. …………………13分

18. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，（
）， ……………3分

在区间
和
上，
；在区间
上，
.

所以，
的单调递减区间是
和
，单调递增区间是
.………4分

（Ⅱ）设切点坐标为
，则
……………7分（1个方程1分）

解得
，
. ……………8分

（Ⅲ）

，

则
， …………………9分

解
，得
，

所以，在区间
上，
为递减函数，

在区间
上，
为递增函数. ……………10分

当
，即
时，在区间
上，
为递增函数，

所以
最大值为
. ………………11分

当
，即
时，在区间
上，
为递减函数，

所以
最大值为
. ………………12分

当
，即
时，
的最大值为
和
中较大者；

，解得
，

所以，
时，
最大值为
， …………………13分

时，
最大值为
. …………………14分

综上所述，当
时，
最大值为
，当
时，
的最大值为
.

19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知
,设
，则
，

圆心坐标为
，圆心到
轴的距离为
， …………………2分

圆的半径为
， …………………4分

所以，以线段
为直径的圆与
轴相切. …………………5分

（Ⅱ）解法一：设
，由
,
,得

，
， …………………6分

所以
，

， …………………8分

由
，得
.

又
，
，

所以
. …………………10分

代入
，得
，
，

整理得
， …………………12分

代入
，得
，

所以
， …………………13分

因为
，所以
的取值范围是
. …………………14分

解法二：设
，
，

将
代入
，得
，

所以
（*）， …………………6分

由
，
，得

，
，…………………7分

所以，
，

， …………………8分

将
代入（*）式，得
， …………………10分

所以
，
. …………………12分

代入
，得
. …………………13分

因为
，所以
的取值范围是
. …………………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
………………1分

. ………………3分

（Ⅱ）证明：因为
，

，

所以
. ……4分

因为
，所以
，或
.

若
，则

当
时，上式
，

当
时，上式
，

当
时，上式
，

即当
时，
. ………………6分

若
，

则
，

.（同前）

所以，当
时，
成立. ……………7分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）

下面来证明当
时，
为递减数列.

（ⅰ）证明
.

若
，则由引理知交换
的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.

若
，则
，与已知矛盾.

所以，
. ………………9分

（ⅱ）设
，证明
.

若
，则由引理知交换
的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.

若
，则
，与已知矛盾.

所以，
. …………11分

（ⅲ）设
，证明
.

若
，考查数列
，

则由前面推理可得
，与
矛盾.

所以，
. ……………12分

综上，得证.

同理可证：当
时，有
为递增数列. ………………13分