2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷（五）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，
，那么

(A)
或
(B)

(C)
或
(D)

2．
的展开式中常数项是

(A) -160 　　　　　 (B) -20 　　　 (C) 20 　　　　　　(D) 160

3．已知平面向量
，
的夹角为60°，
，
，则

(A) 2 　　　　　　 (B)
　　　　(C)
　　　　　　 (D)

4．设等差数列
的公差
≠0，
．若
是
与
的等比中项，则

(A) 3或 -1 　　　　　 (B) 3或1 　　　 (C) 3 　　　　　　　 (D) 1

5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：

① 若
，
，则
； ② 若
//
，
，则m //
；

③ 若
，
，
，则
； ④ 若
，
，
，则
．

其中正确命题的序号是

(A) ①③ 　　　　 (B) ①② 　　　 (C)③④ 　　　　　　 (D) ②③

6．已知函数
若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是

(A)
(B)

(C)
　　　 (D)

7．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点
，则点M取自阴影部分的概率为

(A)
　　　　 (B)
　　 (C)
　　　　 (D)

8．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义
，
，…，
，n=1，2，3，…．满足
的点x∈[0，1]称为f的
阶周期点．设
则f的
阶周期点的个数是

(A) 2n 　　　　 　　(B) 2(2n-1) (C) 2n 　　　　　　　　 (D) 2n2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，

点A的纵坐标为
，则cosα= 　　　　　 ．

10．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 　 ，渐近线方程为 　 ．

11．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线
（t为参数）的距离为 　　　　 ．

12．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O

于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ．

13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：

花期（天）

11～13

14～16

17～19

20～22



个数

20

40

30

10



则这种卉的平均花期为　　　　天．

14．将全体正奇数排成一个三角形数阵：

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

……

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 　　　　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设函数
，当
取最大值
时，判断△ABC的形状．

16.（本小题共14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，

平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，

BC=
AD=1，CD=
．

（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ；

（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ．

17.（本小题共13分）

某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．

（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；

（Ⅱ）设摸球次数为
，求
的分布列和数学期望．

18.（本小题共13分）

已知函数
，
为函数
的导函数．

（Ⅰ）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是
，求
的值；

（Ⅱ）若函数
，求函数
的单调区间．

19.（本小题共14分）

已知点
，
，动点P满足
，记动点P的轨迹为W．

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）直线
与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点
，使得
成立，求实数m的取值范围．

20.（本小题共13分）

已知
，
或1，

，对于
，
表示U和V中相对应的元素不同的个数．

（Ⅰ）令
，存在m个
，使得
，写出m的值；

（Ⅱ）令
，若
，求证：
；

（Ⅲ）令
，若
，求所有
之和．

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷（五）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

C

D

D

B

C





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
10．
，
11．2

12．
13．16天（15.9天给满分） 14．n2-n+5

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=
．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) …………… 3分

∵ 0

∴
． ……………………5分

（Ⅱ）

………………7分

， ……………………9分

∵
∴
∴
（没讨论，扣1分） ………10分

∴当
，即
时，
有最大值是
…………………11分

又∵
， ∴
∴△ABC为等边三角形． ………………13分

16.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ……………………1分

∵BC∥AD且BC=
AD，即BC
AQ．

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M是棱PC的中点，

∴ MN // PA ……………………2分

∵ MN
平面MQB，PA
平面MQB，…………………3分

∴ PA // 平面MBQ． ……………………4分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ……………………6分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………7分

∴BQ⊥平面PAD． ……………………8分

∵BQ
平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． …………………9分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …………………6分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ……………………7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． …………………8分

∵ AD
平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．……………10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；

，
，
，
．………11分

设
，

则
，
，∵
，

∴
， ∴
……………………12分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
． ……………………13分

∵二面角M-BQ-C为30°，
，∴
．……14分

17.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． ……1分

则P(A)=
，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分

P(B)

（列式正确，计算错误，扣1分） ………5分

三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．

P(C)

．…7分

（Ⅱ）设摸球的次数为
，则
． ……8分

，
，

，
．（各1分）

故取球次数
的分布列为

1

2

3

4















…12分

．(约为2.7) …13分

18.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）∵
，

∴
． ……………………1分

∵
在
处切线方程为
，

∴
， ……………………3分

∴
，
． （各1分） …………………5分

（Ⅱ）


．

． ………………7分

①当
时，
，



0







-

0

+







极小值






的单调递增区间为
，单调递减区间为
． ………………9分

②当
时，令
，得
或
……………10分

（ⅰ）当
，即
时，



0











-

0

+

0

-







极小值



极大值






的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
；……11分

（ⅱ）当
，即
时，

，

故
在