2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷（一）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1、已知集合
，
，则

A.
B.

C.
D. R

2．已知数列
为等差数列，
是它的前
项和.若
，
，则

A．10 B．16 C．20 D．24

3. 在极坐标系下，已知圆
的方程为
，则下列各点在圆
上的是　　

A．
B．

C．
D．

4．执行如图所示的程序框图，若输出
的值为23，则输入的
值为

A．
B．1 C．
D．11

5．已知平面
，
是
内不同于
的直线，那么下列命题中错误的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

6. 已知非零向量
满足
０，向量
的夹角为
，且
，则向量
与
的夹角为　　

A．
B．
C．
D．

7.如果存在正整数
和实数
使得函数
（
，
为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么
的值为

A．
B．
C． 3 D. 4

8．已知抛物线
：
，圆
：
（其中
为常数，
）.过点（1，0）的直线
交圆
于
、D两点，交抛物线
于
、
两点，且满足
的直线
只有三条的必要条件是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9．复数

.

10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为
，
，
，则它们的大小关系为 . （用“
”连接）

11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是
与⊙O的交点.若
，则
______；若
，
，则
.

12.已知平面区域
，在区域
内任取一点，则取到的点位于直线
（
）下方的概率为____________ .

13.若直线
被圆
所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：

①
　　②
③
　　④

与直线
一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）

14．如图，线段
=8，点
在线段
上，且
=2，
为线段
上一动点，点
绕点
旋转后与点
绕点
旋转后重合于点
.设
=
，

的面积为
.则
的定义域为 ；
的零点是 .

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

在
中，内角A、B、C所对的边分别为
，已知
，
，且
.

(Ⅰ)求
；

(Ⅱ)求
的面积.

16. （本小题共14分）

在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，

，
，
，
是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
；

(Ⅲ) 求二面角
的余弦值.

17. （本小题共13分）

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.

(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为
，求
的分布列；

(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

18. （本小题共13分）

已知函数
，

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若在
（
）上存在一点
，使得


成立，求
的取值范围.

19. （本小题共14分）

已知椭圆

经过点
其离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ)设直线
与椭圆
相交于A、B两点，以线段
为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆
上，
为坐标原点.求
的取值范围.

20. （本小题共13分）

已知每项均是正整数的数列
：
，其中等于
的项有
个
，

设

，

.

（Ⅰ）设数列
，求
；

（Ⅱ）若数列
满足
，求函数
的最小值.

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷（一）参考答案

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

A

C

D

B

B

D





二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9.
10.
>
>
11.
； 3

12.
13. ① ③ 14.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15.（共13分）

解：（I）因为
，
,
,…………………1分

代入得到，
. …………………3分

因为
, …………………4分

所以
. …………………5分

（II）因为
，由（I）结论可得：
. …………………7分

因为
，所以
. …………8分

所以

. …………9分

由
得
， …………………11分

所以
的面积为：
. ………………13分

16. （共14分）

解：(Ⅰ)证明：∵
，

∴
.

又∵
,
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形，

∴
. ……………2分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………………4分

(Ⅱ) 解法1

证明：∵
平面
，
平面
，

∴
，

又
，
平面
，

∴
平面
. ………………………5分

过
作
交
于
，则
平面
.

∵
平面
， ∴
. ………………………6分

∵
，∴四边形
平行四边形，

∴
，

∴
，又
，

∴四边形
为正方形，

∴
， ………………………7分

又
平面
，
平面
,

∴
⊥平面
. ………………………8分

∵
平面
,

∴
. ………………………9分

解法2

∵
平面
，
平面
，
平面
，∴
，
，

又
,

∴
两两垂直. ……………………5分

以点E为坐标原点，
分别为
轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得，
（0，0，2），
（2，0，0），

（2，4，0），
（0，3，0），
（0，2，2），