2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷（二）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若2∈{1，a，a2-a}，则a=

(A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 2或-1

2．下列四个命题中，假命题为

(A)
，
(B)
，

(C)
，
(D)
，

3．已知a>0且a≠1，函数
，
在同一坐标系中的图象可能是

(A) (B) (C) (D)

4．已知数列
中，
，
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

5．如图所示，已知
，
，
，
，则下列等式中成立的是

(A)
(B)

(C)
(D)

6．已知函数
的图象如图所示，则该函数的解析式可能是

(A)

(B)

(C)

(D)

7．已知x，y的取值如下表：

x 0 1 3 4

y 2.2 4.3 4.8 6.7

从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为
，则

(A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0

8．用
表示a，b两个数中的最大数，设
，若函数
有2个零点，则k的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在复平面内，复数
对应的点位于第 象限．

10．圆C：
的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 ．

11．若
，则函数
的单调递增区间是 ．

12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元．

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．




14．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为___．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求函数
的最小值及取得最小值时的x值．

16.（本小题共13分）

已知梯形ABCD中，
，
，
，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且
，沿CG将△CDG翻折到△
．

（Ⅰ）求证：EF//平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
．




17.（本小题共13分）

某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：
，
，…，
后得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求分数在
内的频率；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；

（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

18.（本小题共14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时函数
取得极小值，求a的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间．

19.（本小题共14分）

已知椭圆C的长轴长为
，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．

（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；

（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为
，
，求证：
为定值．

20.（本小题共13分）

已知数列
的前
项和为
，且
．数列
为等比数列，且
，
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列
中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷（二）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

D

C

A

A

B

C





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．Ⅲ 10．3 11．
写成闭区间也给满分

12．15 13．12 14． 8，

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）∵

， ………………5分

∴
． ………………7分

（Ⅱ）∵
∴
．

∴
． ………………9分

∴
， 即
． …………11分

∴
此时
∴
． ………………12分

∴当
时，
． ………………13分

16. （本小题共13分）

证明：（Ⅰ）∵E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，C
的中点，

∴EF为△
的中位线．

∴EF//
． ………………2分

又∵
平面
，
平面
， ………………4分

∴EF // 平面
． ………………6分

（Ⅱ）∵G是AD的中点，
，即
，

∴
． 又∵
，
，

∴在
中，
∴
．………………9分

∴
，
．

∵
∩
=
，

∴
平面
． ………………12分

又∵
平面
，

∴平面
⊥平面
． ………………13分

17. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）分数在
内的频率为：

． ………3分

（Ⅱ）平均分为：

．…………6分

（Ⅲ）由题意，
分数段的人数为：
人； ………………7分

分数段的人数为：
人； ………………8分

∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴
分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；

分数段抽取1人，记为M． ………………9分

因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，

则另一人的分数一定是在
分数段，所以只需在分数段
抽取的5人中确定1人．

设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件
， ………………10分

则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，

(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)共15种．

事件
包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种．12分

∴恰有1人的分数不低于90分的概率为
． ……………13分

18. （本小题共14分）

解：（Ⅰ）函数
的定义域为
∪
， ………………1分

． ………………3分

∵
时函数
取得极小值，

∴
． ………………4分

∴
． ………………5分

当
时，在
内
，在
内
， …………6分

∴
是函数
的极小值点．

∴
有意义． ………………7分

（Ⅱ）
的定义域为
∪
，

．

令
，得
． ………………9分

（ⅰ）当
时，















0











极小值







…11分

（ⅱ）当
时，

















0











极小值





综上所述： ………………13分

当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；

当
时，函数
的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
．………………14分

19. （本小题共14分）

解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x轴上，且
，
， ………………1分

∴
，
． ………………2分

∴椭圆C的标准方程为
． ………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）
………………5分

∴
或
， ………………7分

即
，
，
．

所以
． ………………9分

（ⅱ）证明：设
，
．

椭圆的右顶点为

， 消y整理得
，

不妨设x1>0>x2，

∴
，
；
，