2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷（三）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数
满足
，则
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）命题“
，
”的否定为

（A）
，
（B）
，
≥0

（C）
，
≥0 （D）
，

（3）已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则函数
的大致图像为

（A）　　　　　　　（B） （C） （D）

（4）给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；

②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；

③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；

④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．

其中为真命题的是

（A）①和② （B）②和③ （C）③和④ （D）②和④

（5）已知函数

的部分

图象如右图所示，则点P
的坐标为

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）若右边的程序框图输出的
是
，则条件①可为

（A）n≤5 （B）n≤6

（C）n≤7 （D）n≤8

（7）已知函数
，那么在下列区间中含有函数

零点的为

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面
，
，
两两互相垂直，点
，点
到
，
的距离都是
，点
是
上的动点，满足
到
的距离是到
到点
距离的
倍，则点
的轨迹上的点到
的距离的最小值为

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）抛物线
的焦点坐标为 ．

（10）在等差数列
中，若
，则
．

（11）已知向量
，
，
满足
，且
，
，
，则
．

（12）已知
,
,则
．

（13）设
且
，则
；
．

（14）设不等式组
在直角坐标系中所表示的区域的面积为
，则当
时，
的最小值为　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
．
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若△
的面积
，求
的值．

（16）（本小题共13分）

已知四棱锥
的底面是菱形．
，
为
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
．

（17）（本小题共13分）

某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100

名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组

[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组

[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；

(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样

抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取

多少名学生进入第二轮面试?

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2

名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考

官面试的概率．

(18)（本小题共14分）

已知函数
，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设函数
，若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围．

（19）（本小题共14分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率为
，椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，且
，求实数
的取值范围．

（20）(本小题共13分)

对于
，定义一个如下数阵：
其中对任意的
，
，当
能整除
时，
；当
不能整除
时，
．

（Ⅰ）当
时，试写出数阵
；

（Ⅱ）设
．若
表示不超过
的最大整数， 求证：

．

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷（三）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）D （3）C （4）D

（5）A （6）B （7）B （8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）
（12）

（13）
；
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

（Ⅰ）证明：因为
，由正弦定理得
，

所以
，

，

在△
中，因为
，
，

所以

所以
． ……………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
．

因为
，所以
．

因为△
的面积
，所以
，
．

由余弦定理

所以
． ……………………13分

（16）（共13分）

（Ⅰ）证明：因为
，
分别为
，
的中点，

所以
∥
．

因为
平面

平面

所以
∥平面
．

……………………6分

（Ⅱ）证明：连结

因为
，

所以
．

在菱形
中，

因为

所以
平面

因为
平面

所以平面
平面
． ……………………13分

（17）（共13分）

解：(Ⅰ)由题设可知，第
组的频率为
，

第
组的频率为
，

第
组的频率为
．

……………………3分

(Ⅱ)第
组的人数为
，

第
组的人数为
，

第
组的人数为
．

因为第
，
，
组共有
名学生，

所以利用分层抽样在
名学生中抽取
名学生，每组抽取的人数分别为：

第
组：
，

第
组：
，

第
组：
．

所以第
，
，
组分别抽取
人，
人，
人． ……………………8分

(Ⅲ)设第
组的
位同学为
，
，
，

第
组的
位同学为
，
，

第
组的
位同学为
．

则从六位同学中抽两位同学有：

共
种可能．

其中第
组的
位同学为
，
至少有一位同学入选的有：

共
种可能，

所以第
组至少有一名学生被甲考官面试的概率为
．

……………………13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）由
，得
．

当
时，得
，

解之，得
． ……………………4分

（Ⅱ）因为
．

从而
，列表如下：







1







＋

0

－

0

＋





↗

有极大值

↘

有极小值

↗



所以
的单调递增区间是
和
；

的单调递减区间是
． ……………………9分

（Ⅲ）函数
，

有
=
，

因为函数在区间
上单调递增，

等价于
在
上恒成立，

只要
≥0，解得