2013高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷（一）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
,
，且
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知
是虚数单位，则复数
所对应的点落在

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3.已知
，则下列不等式正确的是

（A）
（B）
（C）
（D）

4.在
中，“
”是“
为直角三角形”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于

（A）
（B）
（C）
（D）

6.函数
的部分图象如图所示，设
为坐标原点，
是图象的最高点，
是图象与
轴的交点，则

（A）
（B）
（C）
（D）

第5题图 第6题图

7．若
，则函数
在区间
上零点的个数为

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

8．已知点
及抛物线
，若抛物线上点
满足
，则

的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知
为等差数列，
，则其前
项之和为_____.

10．已知向量
，
，设
与
的夹角为
，则
_____.

11.在
中，若
，
，则
_____.

12．平面上满足约束条件
的点
形成的区域为
，则区域
的面积为________；设区域
关于直线
对称的区域为
，则区域
和区域
中距离最近的两点的距离为________.

13.定义某种运算
，
的运算原理如右图所示.则
______；

设
.则
______.

14.数列
满足
，
，其中
，
．给出下列命题：

①
，对于任意
，
；

②
，对于任意
，
；

③
，
，当
（
）时总有
.

其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若
，求
的值.

16.（本小题满分13分）

如图，菱形
的边长为
，
,
.将菱形
沿对角线
折起，得到三棱锥
,点
是棱
的中点，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

17.（本小题满分13分）

由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

支持

保留

不支持



20岁以下

800

450

200



20岁以上（含20岁）

100

150

300



（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取
个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求
的值；

（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有
人20岁以下的概率；

（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取
个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.

18.（本小题满分14分）

设函数
，其中
为自然对数的底数.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）记曲线
在点
（其中
）处的切线为
，
与
轴、
轴所围成的三角形面积为
，求
的最大值.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆
（
）的焦距为
，离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设过椭圆顶点
，斜率为
的直线交椭圆于另一点
，交
轴于点
，且
成等比数列，求
的值.

20.（本小题满分13分）

若函数
对任意的
，均有
，则称函数
具有性质
.

（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质
，并说明理由.

①
； ②
.

（Ⅱ）若函数
具有性质
，且
（

），

求证：对任意
有
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意
均有
.若成立给出证明，若不成立给出反例.

2013高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷（一）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

C

A

D

B

B

C





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.
10.
11.

12.
；
13.
；
14. ①③

注：12、13题第一问2分，第二问3分.

14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分）

解：解：（Ⅰ）由题意，
， ……………2分

所以，
. ……………3分

函数
的定义域为
. ……………4分

（Ⅱ）因为
，所以
， ……………5分

， ……………7分

， ……………9分

将上式平方，得
， ……………12分

所以
. ……………13分

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为点
是菱形
的对角线的交点，

所以
是
的中点.又点
是棱
的中点，

所以
是
的中位线，
. ……………2分

因为
平面
,
平面
，

所以
平面
. ……………4分

（Ⅱ）证明：由题意，
,

因为
,所以
，
. ……………6分

又因为菱形
，所以
. …………7分

因为
,

所以
平面
， ……………8分

因为
平面
，

所以平面
平面
. ……………9分

（Ⅲ）解：三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积. ……………10分

由（Ⅱ）知，
平面
，

所以
为三棱锥
的高. ……………11分

的面积为
， ……………12分

所求体积等于
. ……………13分

17.（本小题满分13分）360题库网 360tiku.com第一网

解：（Ⅰ）由题意得
， ……………2分

所以
. ……………3分

（Ⅱ）设所选取的人中，有
人20岁以下，则
，解得
.………5分

也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，

则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. ………7分

其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分

所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为
. ……………9分

（Ⅲ）总体的平均数为
，………10分

那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分

所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为
. ……………13分

18.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知
，

所以
， ……………2分

由
，得
， ……………3分

所以，在区间
上，
，

函数
在区间
上单调递减； ……………4分

在区间
上，
，

函数
在区间
上单调递增； ……………5分

即函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.

（Ⅱ）因为
，

所以曲线
在点
处切线为
：