2013年高三诊断考试

数 学（理）

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题前标注有（理）的试题理科考生作答，试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答。

2．本卷满分150分，考试用时120分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（理）设全集
，已知
的子集
、
满足集
，
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.（理）设
为虚数单位，复数
为纯虚数，则实数
为

A.
B.
C.
D.

3.曲线
在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是

A.75 B.
C. 27 D.

4.若点
到双曲线

的一条渐近线的距离为
，则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

5.（理）已知命题：

：函数
的最小值为
；

：不等式
的解集是
;

：
，使得
成立;

：
，
成立.

其中的真命题是

A.
B.
，
C.
，
D.
，
，

6.（理）数列
满足
，
，且
，则

A.
B.
C.
D.

7. 执行右面的程序框图，若输入的
,

那么输出的
是

A.120

B.240

C.360

D.720

8. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.16

B.20

C.24

D.32

9.（理）已知动点
到两定点
、
的距离和为8，且
，线段
的的中点为
，过点
的所有直线与点
的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有

A.
条 B.
条 C.
条 D.
条

10.（理）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象．若
在[
]上为增函数，则
的最大值为

A．4 B．3 C．2 D．1

11.（理）已知函数
是
上的偶函数，且满足
，在[0,5]上有且只有
，则
在[–2013,2013]上的零点个数为

A．808 B．806 C．805 D．804

12.（理）定义：
.在区域
内任取一点
，则
、
满足
的概率为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（理）已知向量
，
，
为非零向量，若
，则
.

14．（理）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种.

15.已知三棱锥
的所有顶点都在以
为球心的球面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径,若三棱锥
的体积为
，则球
的表面积为 .

16．（理）已知各项为正的数列
中，
（
），则
.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

（理）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，
．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分12分）

（理）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.

（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润
(单位：元)关于当天需求量
（单位：份，
）的函数解析式.

（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：

日需求量

240

250

260

270

280

290

300



 频数

10

20

16

16

15

13

10



以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.

（1）若售报亭一天购进270份报纸，
表示当天的利润（单位：元），求
的数学期望；

（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好? 说明理由.

20．（本小题满分12分）

已知点
为
轴上的动点，点
为
轴上的动点，点
为定点，且满足
，
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点
且斜率为
的直线
与曲线
交于两点
，
，试判断在
轴上是否存在点
，使得
成立，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

（理）已知函数
，
（
，
为常数，
），且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4-1：《几何证明选讲》

已知：如图,
为
的外接圆，直线
为
的切线，切点为
，直线
∥
，交
于
、交
于
，
为
上一点，且
.

求证：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）点
、
、
、
共圆.

23．（本小题满分10分)选修4—4：《坐标系与参数方程》

在直接坐标系
中，直线
的方程为
，曲线
的参数方程为
(
为参数)

（I）已知在极坐标（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，点
的极坐标为（4，
），判断点
与直线
的位置关系；

（II）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》

已知函数
．

（I）证明：
；

（II）求不等式
的解集．

2013高三诊断考试

数学参考答案及评分标准（理）

一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

D

A

B

A

C

B

D

C

B

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.
； 14.
； 15.
； 16.
.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 解：（Ⅰ）由
，得
. ………………3分

∴
.

∵
， ∴
. ………………6分

（Ⅱ）由正弦定理,得
. ………………9分

∵
,
,

∴
. ∴
. ………………11分

∴
. ………………12分

18. （Ⅰ）证明：因为四边形
是菱形，所以
.

又因为
平面
,所以

.

又
,所以
⊥平面
.

又
平面
，所以
………………6分

（Ⅱ）解：依题意,知

平面
平面
，交线为
，

过点
作
，垂足为
，则
平面
.

在平面
内过
作
，垂足为
，连
,

则
⊥平面
，所以
为二面角

的一个平面角 . ………………9分

∵
，
,

∴
,
. ………