2013年安徽省皖北协作区高三年级联考

数学（理科）参考答案及评分标准

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

D

B

C

C

C

B

D

C





二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11． 任意
，都有
成立； 12. 672 13.

14. 2 15. ②、④、⑤

三.解答题：本大题共6小题，共75分

16. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）
………………………2分

∵
时，
取得最大值.

∴
. 得
. ……………………………………5分

（注：其它方法请合情给分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，

∴
.∵是
的内角, ∴
.……………7分

由正弦定理
得
.

即
.
或
； 得
或
. ……………………10分

∴当
时，
.

当
时，
. ……………12分

（也可求由余弦定理
求，再用
求面积）

17. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知“网球爱好者”人数为
，
，
，
.……………………3分

.……………5分

因为
,

所以有95％以上的把握认为“网球爱好者”与性别有关。………………………………6分

（Ⅱ）
所以X的分布列为：























或
.

.…………………………………………………………………………12分

18 .(本小题满分12分)

解：解法1：（Ⅰ）连结
与
交于点, 连结
，∵为
的中点，

∴
且
,又
且

∴
且
∴四边形NFCE为平行四边形

∴
∵

,
平面
,

面
∴
， 又

∴
面
∴
面
………………………………………5分

（Ⅱ） 延长
与
的延长线交于点
,连结
，则
为平面
与
的交线

∵
, ∴

∴, ,
,在以
为圆心、以
为半径的圆上，

∴

∵
平面
,
面
,

∴
且
,

∴
面
∵
面
,

∴
.

∴
为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角,

∴
＝45°在
中

.………………………………………12分

解法2：（Ⅰ）如图以点为坐标原点，以
,
,
所在的直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图所示： 设

则

,
.

∴
,
,

.

∵
,
.

∴
∵
、
面
，且
.

∴
面
……………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
,设
是面
的法向量，则
, 即
令
，则
，
∴

∵
平面
, ∴
是
的一个法向量，……………………9分

故
得
.

∴
的长为
.（利用射影公式
可酌情给分）…………………………12分

19.(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由题意该函数的定义域为
，由
,因为曲线
存在平行于轴的切线，故此时斜率为
，问题转化为
范围内导函数
存在零点.

解法1 （图像法）再将之转化为
与
存在交点.当
不符合题意，当
时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当
如图2，此时正好有一个交点，故有
.

解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程
在
内有解，可得
； …………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）
，
，

函数
在区间
上是单调递减的，

在区间
上恒成立，即

在区间
上恒成立.令
，

①当
时，
，此时，函数
在区间
上是单调递减

②当
时，函数
开口向上，对称轴为
，只需

，
；

③当
时，函数
开口向下，对称轴为
，

只需

综上可知
.…………………………………………………………12分

20. (本小题满分13分)

解：（Ⅰ）先判断出
在椭圆上，进而断定点
和
在抛物线上，故
在椭圆上，所以椭圆
方程为
，抛物线
方程为
；……………5分

（Ⅱ）设
，

消去y得：
，

由
得
， ① ……………………………………………7分

而
，

故
.

欲使左焦点在以线段
为直径的圆的外部,则

.

整理得：
即
. ②…………………………………………12分

由①②可得的取值范围是：
∪
.…………………………………13分

21.(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）解法1

. …………………………………………………………………4分

解法2：当
时，
.

当
时，数列
是以
为首项，为公差的等差数列.

.

综上可知
；………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

.

，
，
.

猜想：

.……………………………………………………7分

证明：
时，
成立；

假设
时，
成立，则
时，

成立.

综上可知对一切的
都有
成立.……………………………………10分

若存在正整数k使得
成立，则

或

或

，

当
成立时，只有
，即
时，
有最小值为4.

当
成立时，只有
，即
时，
有最小值为2

综上可知
有最小值为2.…………………………………………………………………14分