广东省茂名市实验中学2013届高三

数学文周测2

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则集合

A．
B．
C．
D．

2.
为虚数单位，则复数
的虚部为

A．
B．
C．
D．

3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育

情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.

根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据

此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为

A．240 B．160 C．80 D．60

4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是

A．
B．

C．
D．

5.

A.
B.
C.
D.

6． 若对任意正数
，均有
，则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

7．曲线
在
点处的切线方程是

A.
B.
　

C.
　 D.

8．已知命题
：“对任意
， 都有
”；命题
：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则

A. 命题“
”为真命题 B. 命题“
”为假命题

C. 命题“
”为真命题 D. 命题“
”为真命题

9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为
的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为
的圆（包括圆心），则该零件的体积是

A．

B．

C．

D．

10. 线段
是圆
的一条直径，离心率为
的双曲线
以

为焦点．若
是圆
与双曲线
的一个公共点，则

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题：第11、12、13题为必做题．

11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少

要经过______道加工和检验程序，导致废

品的产生有_____种不同的情形．

12. 已知递增的等比数列
中,

则
.

13. 无限循环小数可以化为有理数，如
，

请你归纳出
（表示成最简分数
．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．

14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线

（常数
）与曲线
相切，则
．

15．（几何证明选讲选做题）如图，
是半圆的直径，

弦
和弦
相交于点
，且
，则

．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，角
为锐角,记角
所对的边分别为
设向量

且
与
的夹角为

（1）求
的值及角
的大小；

（2）若
，求
的面积
．

17．（本小题满分12分）

设函数
，其中
是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “
且
”发生的概率.

(1) 若随机数
；

(2) 已知随机函数
产生的随机数的范围为
,
是算法语句
和
的执行结果．(注: 符号“
”表示“乘号”)

18．（本小题满分14分）

如图，四棱柱
的底面
是平行四边形，
分别在棱
上，且
．

（1）求证：
；

（2）若
平面
，四边形
是边长为
的正方形，且
，
，求线段
的长, 并证明：

19．（本小题满分14分）

已知二次函数
的最小值为
且关于
的不等式
的解集为

,

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
的零点个数.

20．（本小题满分14分）

如图，
是抛物线
上的两动点（
异于原点
），且
的角平分线垂直于
轴，直线
与
轴，
轴分别相交于
.

(1) 求实数
的值，使得
；

(2）若中心在原点，焦点在
轴上的椭圆
经过
. 求椭圆
焦距的最大值及此时
的方程.

21．（本小题满分14分）

定义数列
：
，且对任意正整数
，有

.

（1）求数列
的通项公式与前
项和
；

（2）问是否存在正整数
，使得
？若存在，则求出所有的正整数对

；若不存在，则加以证明.

数学（文科）参考答案及评分标准

说明：

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

A

D

B

A

B

C

C

D





二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中第14、15两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分．

11．

（第一空3分，第二空2分） 12．
13.
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，角
为锐角,记角
所对的边分别为
设向量

且
与
的夹角为

（1）求
的值及角
的大小；

（2）若
，求
的面积
．

【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力．

解：（1）

3分

，

5分

7分

（2）(法一)
,
及
,

, 即
(舍去)或
10分

故
12分

(法二)
,
及
,

. 7分

,

,

. 10分

故
12分

17．（本小题满分12分）

设函数
，其中
是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “
且
”发生的概率.

(1) 若随机数
；

(2) 已知随机函数
产生的随机数的范围为
,
是算法语句
和
的执行结果．(注: 符号“
”表示“乘号”)

【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力．

解：由
知，事件A “
且
”，即
1分

(1) 因为随机数
，所以共等可能地产生
个数对
，

列举如下：

，

4分

事件A ：
包含了其中
个数对
，即：

6分

所以
，即事件A发生的概率为
7分

(2) 由题意，
均是区间
中的随机数，产生的点
均匀地分布在边长为4的正方形区域
中（如图），其面积
. 8分

事件A ：
所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），

其面积为：
. 10分

所以
，

即事件
的发生概率为
12分

18．（本小题满分14分）

如图，四棱柱
的底面
是平行四边形，
分别在棱

上，且
．

（1）求证：
；

（2）若
平面
，四边形
是边长为
的正方形，且
，
，求线段
的长, 并证明：

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力．

证明：（1）
四棱柱
的底面
是平行四边形，

1分

平面

平面

平面

平面
3分

平面

，

平面
平面
4分

，

四点共面. 5分

平面
平面
,平面
平面
,

7分

（2） 设

四边形
,四边形
都是平行四边形，

为
，
的中点，
为
，
的中点. 8分

连结
由(1)知
,从而
.

，
，

10分

平面
,四边形
是正方形,

，
，
均为直角三角形,得

,

，即
. 12分

平面

平面

.

平面

平面
13分

平面

14分

19．（本小题满分14分）

已知二次函数
的最小值为
且关于
的不等式
的解集为

,

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
的零点个数.

【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．

解：（1）

是二次函数, 且关于
的不等式
的解集为

,

, 且
. 4分

,且
,

6分

故函数
的解析式为

(2)
,

. 8分

的取值变化情况如下：





























单调增加

极大值

单调减少

极小值

单调增加





11分

当
时,
； 12分

又
. 13分

故函数
只有1个零点,且零点
14分

20．（本小题满分14分）

如图，
是抛物线
上的两动点（
异于原点
），且
的角平分线垂直于
轴，直线
与
轴，
轴分别相交于
.

(1) 求实数
的值，使得
；

(2）若中心在原点，焦点在
轴上的椭圆
经过
. 求椭圆
焦距的最大值及此时
的方程.

【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、

两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，

考查学生运算能力、推理论证以及分析问

题、解决问题的能力，考查数形结合思想、

化归与转化思想．

解: (1) 设

由
的角平分线垂直于
轴知，直线
与直线
的倾斜角互补，从而斜率之和等于
，即
化简得
. 3分

由点
知直线
的方程为
.

分别在其中令
及
得
. 5分

将
的坐标代入
中得
,

即
, 7分

所以
8分

(2) 设椭圆
的方程为
,

将
,
代入,得
, 9分

解得
, 由
得
. 10分

椭圆
的焦距

（或
） 12分

当且仅当
时,上式取等号, 故
, 13分

此时椭圆
的方程为
14分

21．（本小题满分14分）

定义数列
：
，且对任意正整数
，有

.记数列
前
项和为
.

(1) 求数列
的通项公式与前
项和
；

（2）问是否存在正整数
，使得
？若存在，则求出所有的正整数对

；若不存在，则加以证明.

【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．

解：（1）对任意正整数
，
，

. 1分

所以数列
是首项
,公差为
等差数列；数列
是首项

,公比为
的等比数列. 2分

对任意正整数
,
,
. 3分

所以数列
的通项公式

或
4分

对任意正整数
,

. 5分

6分

所以数列
的前
项和为
.

或
7分

(2)

,

从而
,由
知
8分

①当
时,
,即
； 9分

②当
时,
,即
； 10分

③当
时,
,则存在
,

使得

从而
,得
,

，得
,即
. 13分

综上可知,符合条件的正整数对
只有两对：
与
14分