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高三自评试卷 数学 (理科) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数的共轭复数为，若则复数 A． B． C． D． 2. 已知集合，集合，则 A． B． C． D． 3.“”是“直线与圆 相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 若是夹角为的单位向量，且，，则 A． B． C． D． 5. 若 的展开式中，常数项为，则的值可以为 A． B． C． D． 6. 若当时，函数取得最小值，则函数是 A．奇函数且图象关于点对称 B．偶函数且图象关于点对称 C．奇函数且图象关于直线对称 D．偶函数且图象关于点对称 7. 已知、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出以下命题： ①若，则；②若，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的序号是 A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 8. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的表面积为 A． B． C. D. 9. 若是任意实数,且,则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 10. 已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：①；②； ③；④，其中正确结论的序号是 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 11. 如果导函数图象的顶点坐标为，那么在曲线上任一点处的切线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 12. 已知,满足约束条件，若，则的取值范围为 A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 定义某种运算,运算原理如右框图所示,则式子的值为 ; 14. 已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 ; 15. 等差数列，满足，其前项和为.若随机从区间中取实数作为该数列的公差，则使得当时最大的概率为_______; 16．下列说法中正确的是 （把所有正确说法的序号都填上）.[来 ①“若,则”的逆命题为真； ②线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点，，， 中的一个点； ③命题“， ”的否定是“， ” ； ④用数学归纳法证明()时，从“”到“”的证明中，左边需增加的一个因式是. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知点,，设，,其中为坐标原点. （Ⅰ）设点到线段所在直线的距离为,且,求和线段的大小； （Ⅱ）设点为线段的中点, 若，且点在第二象限内,求 的取值范围. 18．（本小题满分12分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．已知两种大树各成活株的概率为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率； （Ⅲ）用分别表示甲、乙两种大树成活的株数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 19．（本小题满分12分）如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求直线和平面所成角的正弦值. 20．（本小题满分12分） 已知函数的图象经过点,且对任意的都有，数列满足 ，（为正整数）． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求（）． 2１．（本小题满分13分） 若任意直线过点,且与函数的图象交于两个不同的点，分别过点作的切线，两切线交于点. （Ⅰ）证明：点的纵坐标是一个定值，并求出这个定值； （Ⅱ）若不等式恒成立，，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：，（其中是自然对数的底数，）. 2２．（本小题满分13分） 设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线的一点,且满足,求实数的值. 高三自评试卷 数学 (理科)参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． DBACD ＣABDC DB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 14. 15. 16．③④ 三、解答题：本大题共6小题,共74分． 17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）过作的垂线,垂足为,则 在直角三角形中, ， 又，,所以为正三角形 所以 ,从而，或……………4分 在中, …………………………………………………………6分 （Ⅱ），点为线段的中点,……………………………………7分 且点在第二象限内,，…………………8分 从而，， 则 ……………………………………10分 因为,所以,从而 所以的取值范围为 ……………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：设“甲种大树恰有株成活”为事件，则； 设“乙种大树恰有株成活”为事件，则. （Ⅰ）两种大树各成活株的概率 ……………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）设“甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数”为事件 则 所以，甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率为. ………………6分 （Ⅲ）由题意知，所有可能取值为. …………………………………………7分
所以服从的分布列为 ………………………………………………10分 ……………………………………………………12分 19．（本小题满分12分） ?(Ⅰ) 证明：取的中点，连结， 为的中点，， 平面，平面， ，，且， 从而为平行四边形， ………………………………………………3分 平面，平面，∴平面…………………………4分 ?(Ⅱ) 证明：为等边三角形，为的中点，， 平面，平面，，又 平面…………………………………………………………………………6分 由?(Ⅰ)知：，平面， 平面， 平面平面 …………………………………………………………………8分 ?(Ⅲ) 解：设，建立如图所示的坐标系，则，，，，， ∵为的中点，∴，，， 设平面的法向量为， 由可得：，令，则，取. 设和平面所成的角为，则 ∴直线和平面所成角的正弦值为. ……………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知，又对任意的都有，所以有，从而是以为首项，为公差的等差数列，故………………………………………………………………2分 当为偶数时， 当为奇数且时， 综上，（为正整数）…………………………………………6分 （Ⅱ） 令 则 两式相减： 所以…………………12分 21．（本小题满分13分） 证明：(Ⅰ)设，由题意知的斜率必存在，设， 将其代入得：， …………………………2分 ，， ， 化简得：……① 同理：,……② 由①②消去得：…………………………………………………………5分 (Ⅱ)令 ， 令 得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 在时取得最小值， ………………………………………………………7分 要使恒成立，只需 即 ，解得，又，……………………………9分 (Ⅲ)根据（Ⅱ）：取，则有，化简得： ………………11分 分别令得：，，……， 相加：………………………………………13分 22．（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）设,的坐标分别为,其中 由题意得的方程为: 因到直线的距离为,所以有,解得……………………2分 所以有……① 由题意知: ,即……② 联立①②解得: 所求椭圆的方程为…………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知:, 设 根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为 把它代入椭圆的方程,消去,整理得: 由韦达定理得,则, 所以线段的中点坐标为……………………………………………8分 (1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴 于是 由,解得:………………………………………………10分 (2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为 因为点是线段垂直平分线上的一点 令,得: 于是 由,解得: 代入,解得: 综上, 满足条件的实数的值为或.………………………………13分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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