2013年高三诊断考试

数 学（文）

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题前标注有（理）的试题理科考生作答，试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答。

2．本卷满分150分，考试用时120分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（文）若全集
，则集合
等于

A.
B.
C.
D.

2.（文）设
为虚数单位，若
，则实数
满足

A.
B.
C.
D.

3.曲线
在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是

A.75 B.
C. 27 D.

4.若点
到双曲线

的一条渐近线的距离为
，则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

5.（文）下列命题中的真命题是

A.对于实数
、
、
，若
，则

B.不等式
的解集是

C.
，使得
成立

D.
，
成立

6.（文）已知数列
为等差数列，若
，则

A.
B.
C.
D.

7. 执行右面的程序框图，若输入的
,

那么输出的
是

A.120

B.240

C.360

D.720

8. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.16

B.20

C.24

D.32

9.(文) 在半径为
的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所做弦的长度超过
的概率是

A.
B.
C.
D.

10.(文) 已知动点
到两定点
、
的距离和为8，且
，线段
的的中点为
，过点
的所有直线与点
的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有

A.
条 B.
条 C.
条 D.
条

11.（文）数列
的前
项和为
，若
，
，则

A．
B．
C．
D．

12.（文）已知函数
是
上的偶函数，且满足
，在[0,5]上有且只有
，则
在[–2013,2013]上的零点个数为

A．808 B．806 C．805 D．804

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（文）已知变量
满足
，则
的最大值为__________.

14．（文）已知向量
，
，
为非零向量，若
，则
.

15.已知三棱锥
的所有顶点都在以
为球心的球面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径,若三棱锥
的体积为
，则球
的表面积为 .

16．（文）定义一种运算
.令
.当
时，函数
的最大值是______.　

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

（文）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，
．

(Ⅰ)求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求棱锥
的高.

19．（本小题满分12分）

（文） 某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.

（Ⅰ）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润
(单位：元)关于当天需求量
（单位：份，
）的函数解析式.

（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：

日需求量

240

250

260

270

280

290

300



 频数

10

20

16

16

15

13

10



（1）假设售报亭在这100天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率.

20．（本小题满分12分）

已知点
为
轴上的动点，点
为
轴上的动点，点
为定点，且满足
，
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点
且斜率为
的直线
与曲线
交于两点
，
，试判断在
轴上是否存在点
，使得
成立，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

（文）已知函数
，
（
，
为常数，
），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
时，证明：
恒成立.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4-1：《几何证明选讲》

已知：如图,
为
的外接圆，直线
为
的切线，切点为
，直线
∥
，交
于
、交
于
，
为
上一点，且
.

求证：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）点
、
、
、
共圆.

23．（本小题满分10分)选修4—4：《坐标系与参数方程》

在直接坐标系
中，直线
的方程为
，曲线
的参数方程为
(
为参数)

（I）已知在极坐标（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，点
的极坐标为（4，
），判断点
与直线
的位置关系；

（II）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》

已知函数
．

（I）证明：
；

（II）求不等式
的解集．

2013高三诊断考试

数学参考答案及评分标准（文）

一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

D

A

C

A

C

B

B

D

A

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.
； 14.
； 15.
； 16.
.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 解：（Ⅰ）由
，得
. ………………3分

∴
.

∵
， ∴
. ………………6分

（Ⅱ）由正弦定理,得
. ………………9分

∵
,
,

∴
. ∴
. ………………11分

∴
. ………………12分

18. （Ⅰ）证明：因为四边形
是菱形，所以
.

又因为
平面
,所以

.

又
,所以
⊥平面
. ………………6分

（Ⅱ）解：∵
，设棱锥
的高为

∴
………………8分

. ∵
，
，

∴
,

∴
，
……10分

∴
.

即棱锥
的高为
. ………………12分

19. 解：（Ⅰ）当
时，
;

当
时，
,

∴
………………5分

（Ⅱ）(1) 这100天中,每天利润为132元的有10天，每天利润为141元的有20天，每天利润为150元的有16天，每天利润为159元的有16天，每天利润为168元的有38天，所以这100天的日利润的平均数为

.………………9分

(2)利润不超过150元当且仅当报纸日需求量不大于260份，故当天的利润不超过150元的概率的概率为

. ………………12分

20. 解：

（Ⅰ）设
，则由
，得
为
的中点.………………2分

∴
,
.

∴
,
.

∴
, 即
.

∴动点
的轨迹
的方程
. ………………5分

（Ⅱ）设直线