广东省茂名市实验中学2013届高三

数学理周测2

一、填空题（40分）

1、已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{2，3，4，5，6}，则A∪B＝

A、{1，2， 3，4}　　 C、{1，2，3，4，5，6}

C、{2，3，4，5，6}　D、{3，4}

2、复数z满足z＋1＝2＋i（i为虚数单位），则z（1－i）＝

A、2　　B、0　　C、1＋i　　D、i

3、若
，则
＝

A、1　　B、32　　C、－1　　D、－32

4、在△ABC中，∠A＝
，AB＝2，且△ABC的面积为
，则边AC的长为

　A、1　　B、
　　C、2　　D、1

5、在等比数列{
}中，已知
＝1，
＝2，则
等于

A、2
　　B、4　　C、8　　D、16

6、已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意
，都有f（x＋4）＝f（x），

若f（－1）＝2，则f（2013）等于

　A、2012　　B、2　　C、2013　　D、－2

7、已知函数
，其中
的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有

A、1个　　B、2个　　

C、3个　D、4个

8、设命题p：“若对任意
，｜x＋1｜＋｜x－2｜＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角
，使

”，则

A、
为真命题　　B、
为假命题

C、
为假命题　D、
为真命题　

二、填空题（30分）

（一）必做题

9、点P是圆x2＋y2＋2x－3＝0上任意一点，则点P在第一象限的概率为＿＿＿＿

10、某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：

由最小二乘法求得回归方程为
＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为＿＿＿＿

11、设变量x，y满足约束条件
，则其目标函数z＝mx＋y仅在点（3,1）处取得最大值，则m的取值范围是＿＿＿

12、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x＝＿＿＿＿

13、已知点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与双曲线C2：
的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于＿＿＿＿

（二）选做题

14、在极坐标系中，直线
与圆
相交的弦长为＿＿＿＿

15、如图圆上的劣弧
所对的弦长CD＝
，弦AB是线段CD的垂直平分线，AB＝2，则线段AC的长度为＿＿＿＿

三、解答题（80分）

16、（本小题满分12分）

已知函数
的部分图象如图所示。

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）若
，求
的值。

17、（本小题满分12分）

甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约。甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响。已知至少有1人面试合格概率为
。

(1)求P。 (2)求签约人数
的分布列和数学期望值。

18、（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。

（1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值；

（2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值。

19、（本小题满分14分）

已知各项为正的数列{
}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有

（1）求
的值；

（2）求数列{
}的通项公式；

（3）若数列
的前n项和为Tn，求Tn的最大值。

20、（本小题满分14分）

　如图，已知点M0（x0，y0）是椭圆C：
＝1上的动点，以M0为切点的切线l0与直线y＝2相交于点P。

　　（1）过点M0且l0与垂直的直线为l1，求l1与y轴交点纵坐标的取值范围；

（2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM0为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。

21、（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝
－1，
，其中e是自然对数的底，e＝2.71828…。

（1）证明：函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间（1,2）上有零点；

（2）求方程f（x）＝g（x）根的个数，并说明理由；

（3）若数列{
}（
）满足
为常数），
，

证明：存在常数M，使得对于任意
，都有

参考答案

一、选择题

1、B　2、A　3、B　4、A　5、C　6、D　7、C　

8、C

解析：

P正确，q错误：
，<==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC,==>A,B,C三点共线。反之，不成立。例如，A(0,0),B(1,0),C(2,0),BA=(-1,0),BC=(1,0),不存在角a,使向量MA=(sina)^2*向量MB+(cosa)^2*向量 MC。所以这个命题是假的。

二、填空题

9、
　　10、68　　11、（－1,1）　12、3　　13、

解析：

14、
　　15、

三、解答题

17、解：（1）至少1人面试合格概率为
（包括1人合格 2人合格和3人都合格）， 这样都不合格的概率为1-
=
。（1-P）3 =
P=
（2）签约人数
取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：都不合格（1-
）3=
，甲不合格，乙丙至少一人不合格
*（1-
*
）-（1-
）3（甲乙丙都不合格）=
签约人数为0的概率：
+
=
签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：
*（1-
*
）=
签约人数为2的概率:甲不合格，乙丙全部合格：
*
*（1-
）=
签约人数为3的概率:甲乙丙均合格：（
）3=
分布表：

签约人数

0

1

2

3



概率











数学期望：E
＝1

18、解：（1）过A1作A1F⊥DE，由已知可得A1F⊥平面BCD，且F为DE中点，以D为原点，DC、DA所在直线为y，x轴建立空间直角坐标系，则

D（0，0，0），C（0，4，0），E（2，2，0），A1（1，1，
）

求得平面CEA1的一个法向量为m＝（1，1，
）

＝（0，4，0），
?m＝｜
｜｜m｜cosθ，得cosθ＝

所以，直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为
。

（2）取A1D中点G，连结MG，EG，由MG∥EB，且MG＝EB，可得BMGE为平行四边形，所以，BM＝EG，而三角形ADE中，EG的长度为定值，所以，BM的长度为定值。

19、

20、解：（1）由椭圆得：
，

切线的斜率为：k＝
，所以，直线l1的方程为：
，

与y轴交点纵坐标为：y＝
－
＝

因为
，所以，
，
，所以，当切点在第一、二象限时

l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：
，则对称性可知

l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：
。

（2）依题意，可得∠PTM0＝90°，设存在T（0，t），M0（x0，y0）

由（1）得点P的坐标（
,2）,由
可求得t＝1

所以存在点T（0,1）满足条件。

21、解：

（1）由h（x）＝f（x）－g（x）＝
－1－
，得：

h（1）＝e－3＜0，h（2）＝e2－2－
＞0，所以函数h（x）在区间（1,2）上有零点。

（2）由（1）得：h（x）＝
－1－

由
知，
，而
，则
为
的一个零点，且
在
内有零点，因此
至少有两个零点。

解法1：
－1，记

－1，则
.

当
时，
，因此
在
上单调递增，则
在
内至多只有一个零点.
有且只有两个零点.

所以，方程f（x）＝g（x）根的个数为2。

（3）记
的正零点为
，即
.

（1）当
时，由
，即
.而

，因此
，由此猜测：
.下面用数学归纳法证明：

①当
时，
显然成立；

②假设当
时，有
成立，则当
时，由

知，
，因此，当
时，
成立.

故对任意的
，
成立.

（2）当
时，由（1）知，
在
上单调递增.则
，即
.从而
，即
，由此猜测：
.下面用数学归纳法证明：

①当
时，
显然成立；

②假设当
时，有
成立，则当
时，由

知，
，因此，当
时，
成立.

故对任意的
，
成立.

综上所述，存在常数
，使得对于任意的
，都有
.