本试题满分100分，考试时间90分钟。答案一律写在答卷页上

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

1．已知命题p：“任意x∈R时，都有x2－x＋>0”；命题q：“存在x∈R，使sinx＋cosx＝成立”．则下列判断正确的是(　　)

A．命题q为假命题 B．命题P为真命题

C．p∧q为真命题 D． p∨q是真命题

2．已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“()a<()b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 抛物线
的焦点坐标是 （ ）

A、（, 0） B、(－, 0) C、（0,） D、（0, －）

4. 如图：在平行六面体
中，
为
与
的交点。 若
，
，
则下列向量中与
相等的向量是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

5. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是 （ ）

（A）
（x≠0） （B）
（x≠0）

（C）
（x≠0） （D）
（x≠0）

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值 为(　　) A. B. C. D.

7. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1, y1）B（x2, y2）两点，如果
=6，那么
＝ （ ）

（A）6 （B）8 （C）9 （D）10

8．设
，则方程
不能表示的曲线为

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

9．下列说法中错误的个数为

①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③
是
的充要条件；④
与
是等价的；⑤“
”是“
”成立的充分条件。

A．2 B．3 C．4 D．5

10. 若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，那么
的取值范围是（ ）

A、（
） B、（
） C、（
） D、（
）

11.在抛物线
上求一点P，使其到焦点F的距离与到
的距离之和最小，则该点坐标为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

12.已知点F1、F2分别是椭圆
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

15. 如果椭圆
的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。

16．有下列命题：①双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点； ②“－

三、解答题（本大题共4小题,共48分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）

设：方程
有两个不等的负根，：方程
无实根，若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．

18.（本小题满分12分）

已知直线交抛物线


于A,B两点，且
, 其中，点为坐标原点，点的坐标为
.

19．(本小题满分12分)

如图，在底面是正方形的四棱锥
中，
，
，点在
上，且
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点，

使得
平面
.

20. （本小题满分14分）

椭圆的中心为坐标原点,点
分别是椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,一个焦点为
,离心率为
.点
是椭圆上在第一象限内的一个动点,直线
与轴交于点,直线
与轴交于点
.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）若把直线
的斜率分别记作
，求证：
；

(III) 是否存在点
使
，若存在，求出点
的坐标，若不存在，说明理由.


2015 .1

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

A

A

B

C

B

C

C

D

B

D





二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）

三、解答题（本大题共4小题,共48分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

17、（本小题满分10分）

解：若方程
有两个不等的负根，则
， ……2分

所以
，即
． ………………………………3分

若方程
无实根，则
， ……5分

即
， 所以
． ……………………………………6分

因为
为真，则
至少一个为真，又
为假，则
至少一个为假．

所以
一真一假，即“真假”或“假真”． ……………………8分

所以
或
………………………10分

18. （本小题满分12分）

解: （I）因为点
在抛物线
上，

所以
, ---------2分

解得
, ---------3分

故抛物线C的方程为
. ----------4分

（II）设点的坐标为
,由题意可知
,

直线
的斜率
,直线
的斜率
,

因为
，所以
, ---------6分

又因为点
在抛物线
上，

19．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）正方形
边长为1，
，
，

所以
，即
，
，

因为
，

所以
平面
. ………………4分

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，直线
，
，
分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则
，
.

由（Ⅰ）知
为平面
的法向量，

，

设平面
的法向量为
，

由
，
，

得

令
，则
，
，

所以
， ………………6分

所以
，

即所求二面角的余弦值为
. ………………8分

（Ⅲ）设
，则
，

，

若
平面
，则
，即
，
，

解得
， ………………10分

所以存在满足题意的点，

当是棱
的中点时，
平面
. …………12分

20．（本小题满分14分）

解: （I）由题意，可设椭圆C的方程为
,则
，
，

所以
，
， ----------2分

所以椭圆C的方程为
. ---------4分

（II）由椭圆C的方程可知，点
的坐标为
，点
的坐标为
,

设动点
的坐标为
，由题意可知
,

直线
的斜率
，直线
的斜率
,

所以
, ----------6分

因为点
在椭圆
上，

所以
,即
,

所以
---------8分

（III）设直线
的方程为
，

令
，得
，所以点的坐标为
, -------9分

设直线
的方程为
，

令
，得
，所以点
的坐标为
, -------10分

由椭圆方程可知，点的坐标为
,

由
，得
,

由题意，可得

整理得
, --------11分

与
联立,消
可得
,

解得
或
, ------12分

所以直线
的直线方程为
或
,

因为
与椭圆交于上顶点，不符合题意.

把
代入椭圆方程,得
,

解得
或, ---------13分

因为
，所以点
的坐标为
. --------14分

说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.