1．命题“
”的否定是 （　　）

A．
B．

C．
D．

2．“
”是“
”成立的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件

3．设p：
，q:
，若q是p的必要而不充分条件，

则实数a的取值范围是（ ）

A.
B．
C.
D．

4．下列命题中假命题是( )

A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直

B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直

D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行

5．已知向量
，
，且
与
互相垂直，则
的值是（ ） A．1 B．
C．
D．

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)

7．抛物线
上一点到直线
的距离与到点
的距离之差的最大值为（ ）A.
B.
C.
D.

8．已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

9．如图，
、
是双曲线

，
的左、右焦点，过
的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若
为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

10．如图，从点
发出的光线，沿平行于抛物线
的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点
，再经抛物线反射后射向直线
上的点，经直线反射后又回到点
，则
等于( )

A． B． C． D．

二、填空题（共5题，每题5分）

11．双曲线
的离心率为 .

12．已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程
＋
＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．

13．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．

14．椭圆
的焦点分别为
和
，点在椭圆上，

如果线段
的中点在轴上，那么
。

15．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于
a2．

其中，所有正确结论的序号是________．

三、解答题（共75分）

16．已知命题：“
，使等式
成立”是真命题．

（1）求实数的取值集合
； （5分）

（2）设不等式
的解集为
，若
是
的必要条件，求的取值范围．（7分）

17．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；（5分）

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；（7分）

18．已知命题
“存在
”，命题：“曲线
表示焦点在轴上的椭圆”，命题 “曲线
表示双曲线”

（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（7分）

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围。（5分）

19．如图，在直三棱柱
（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面
侧面
，
,
，且满足
.（12分）

（1）求证：
；（4分）

（2）求点
的距离；（4分）

（3）求二面角
的平面角的余弦值.(4分)

20．已知抛物线的顶点在坐标原点
，焦点在轴

上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1．直线
与抛物线交于，
两点.

（1）求抛物线的方程；（4分）

（2）当直线
，
的倾斜角之和为
时，证明直线
过定点.（9分）

21．已知点，的坐标分别为
，
.直线
，
相交于点，且它们的斜率之积是
，记动点的轨迹为曲线
.

（1）求曲线
的方程；(4分)

（2）设
是曲线
上的动点，直线
，
分别交直线
于点
，线段
的中点为，求直线
与直线
的斜率之积的取值范围；(6分)

（3）在（2）的条件下，记直线
与
的交点为，试探究点与曲线
的位置关系，并说明理由.(4分)

余江一中2014-2015学年度上学期期中考试

高二数学理科卷参考答案

三、16．(1) 由题意知，方程
在
上有解，

即的取值范围就为函数
在
上的值域，易得
5分

17．（1）作DH⊥EF于H，连BH，GH， 1分

由平面
平面
知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。

又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，


BHDH＝H，故EG⊥平面DBH， 4分

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。 5分

（2）∵AD∥面BFC，

所以
VA-BFC＝
＝

4 (4-x) x

10分

即
时
有最大值为
. 12分

（2）若为真，则
，即
8分

由是的必要不充分条件，

则可得


或
9分

即
或
11分 解得
或
12分

19．（1）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作

AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC
侧面A1ABB1=A1B,得

AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.

又AA1
AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC. 4分

（2）由（1）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) ,

有由
，满足
，

所以E(1，2，0), F(0，1，1)

所以
,

所以点
的距离
. 8分

20．（1）设抛物线方程为

由抛物线的定义知
，又
2分

所以
，所以抛物线的方程为
4分

（2）设
，

联立
，整理得
（依题意
）

，
6分

设直线
，
的倾斜角分别为
，斜率分别为
，则

8分

其中
，
，代入上式整理得

所以
即
10分

直线
的方程为
，整理得

所以直线
过定点
12分.

（3）由（2）得，
，
，

∴
，
12分

∴
　∴ 点在曲线
上. 14分