一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．直线x+y－1=0的倾斜角为( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

解析　由已知，直线的斜率k=－, 可得倾斜角为150°,故选D.

答案　D

2．椭圆的长轴为2，离心率为，则其短半轴为(　　)

A． B． C． D．

解析　由已知，a=1, =, 所以c=. 于是b2=a2-c2=, 从而b=, 故选C.

答案　C

3．直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则(　　) (　　)

A．a＝1或a＝2 B．a＝1或a＝－2 C．a＝1 D．a＝－2

答案　B

解析　由a(a＋1)＝2可得a＝1或a＝－2.经检验，均符合题意。故选B.

4．经过抛物线y2＝4x的焦点且垂直于直线3x－2y＝0的直线l的方程是 (　　)

A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0

解析　设垂直于直线3x－2y＝0的直线l的方程为2x+3y+c＝0, 由于直线l经过抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0),所以c=－2。故选C.

答案　C

5．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)

A．4 B．－4 C．6 D．－6

解析　圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.

答案　C

6. 设正数x，y满足，则4x+6y－1的最大值为( )

A. 3 B.4 C. 5 D. 6

解析　如图，作出可行域，容易得最优解为P(1,0.5)，将x=1,y=0.5代入

目标函数z=4x+6y－1得6，故选D

答案　D

7．在焦点分别为F1、F2的双曲线上有一点P,若∠F1PF2＝，|PF2|＝2|PF1|, 则该双曲线的离心率等于 (　　)

A． B.  C．2 D.

解析　不妨设|PF2|＝2|PF1|＝2m，则由∠F1PF2＝得5m2=4c2, m=c. 又由双曲线的定义知|PF2|－|PF1|=2a, c=a. 离心率e==.

答案　D

8．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线

的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的

比值是(　　)

A．3 B．2 C. D.

解析　设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.

答案　B

9．如图, 过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2＋(y－1)2＝1于

点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是 (　　)

A．8 B．4 C．2 D．1

解析　法一：特殊化（只要考查直线y=1时的情形）

法二：抛物线焦点为F(0,1)，设直线为y=kx+1,与x2＝4y联立得：y2－(4k2+2)y+1=0

由于|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yB。

所以，|AB|·|CD|＝yAyB＝1.

答案　D

10．已知椭圆+＝1(a>0，b>0)，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1,k2, k1k2≠0,若|k1|＋|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为 (　　)

A. D. C. D.

解析 设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，则k1＝，k2＝.

又∵M、N、P都在椭圆+＝1上，∴

∴b2(x2－x)＝－a2(y2－y)．∴＝－ .

∴＝－k2，即|k1|·|k2|＝.

又∵|k1|＋|k2|≥2＝.

∴＝，即2b2＝a2，∴2(a2－c2)＝a2，即2c2＝a2 ∴＝，即e2＝，∴e＝.

答案 D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝ .

解析　抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.

答案　－

12．过点A(1,2)且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是 ．

解析　设切线方程为y－2=k(x－1),即kx－y+2－k=0。由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即=1,解得k=, 其方程为3x－4y+5 =0. 又，当斜率不存在时，切线方程为x=1。

答案　3x－4y+5 =0或x=1

13．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点,且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是 ．

解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.

答案 ＋＝1

14．已知圆锥曲线＋＝1的离心率等于，则m＝

解析 当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，0＜m＜4,且 = , 解得m=1;

当方程表示焦点在y轴上的椭圆时，4＜m，且 = , 解得m=16.

答案 1或16

15．如图，平行光线与水平地面成30°角,已知足球在地面上的影子是椭

圆形，则该椭圆的离心率为

解析 已知桌面上有一个球,半径为R,一束平行光线与桌面成
(
)角,

则球在桌面上的投影椭圆的离心率
。

如图，
和
是两条与球相切的光线，分别切于点A和点C，分别与桌面交于点B和点D，则AC就是球的直径，BD的长就是椭圆的长轴长。过点A作AE//BD，交
于点E，则BD=AE。在Rt△AEC中,因为∠AEC=
,所以AE=
,即
，

又因为
,所以
,

所以
.

答案 

[注：选修1－1第25页对此进行了详细论述]

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本题满分12分) 定义直线y＝±x为双曲线—＝1(a＞0,b＞0)的渐近线。已知圆C与双曲线x2－y2＝1的渐近线相切于点P(2，－2)，且圆心C在直线y＝－3x上，求圆C的方程。

解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为y＝±x

法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则有， 解得a＝1，b＝－3，r＝.

∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝2.

法二　过切点且与x＋y＝0垂直的直线为y＋2＝x－2，与y＝－3x联立可求得圆心为(1，－3)．

∴半径r＝＝，

∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝2.

17．(本题满分12分) 点M到点F(4,0)的距离比它到直线l: x+6=0的距离小2.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)若直线y=x－5与(1)中的轨迹交于A、B两点，求线段AB的长度。

解析 [注：选自选修1－1第37页例2]

(1)法一 由题意可知：点M到点F(4,0)的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线。

由=4得p=8, 所以其方程为y2=16x.

法二 设M(x,y)，则由题意可得： +2 = |x+6|, 化简得: y2=16x.

(2)法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|= = |x1－x2| = |x1－x2|

由得: x2－26x+25=0

所以|x1－x2|＝ =  =24

于是|AB|=|x1－x2|＝24。

法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)

由得: x2－26x+25=0，解得x1=1, x2=25. 所以A(1,－4)，B(25,20),

从而|AB|= = 24。

18．(本题满分12分) 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，

并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．

解析　由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p＝2c，所以抛物线方程为y2＝4cx.

因为抛物线过点，所以6＝4c·，所以c＝1.

故抛物线方程为y2＝4x.

又双曲线－＝1过点，所以－＝1.

又a2＋b2＝c2＝1，所以代入得－＝1，所以a2＝或a2＝9(舍)，所以b2＝，故双曲线

方程为4x2－＝1.

19．(本题满分12分) 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线经过P( 3,－4 )、Q( ，5 )两点。

(1) 求双曲线的方程；

(2) 设F1、F2是双曲线的两个焦点, M是双曲线上位于第一象限的一点,且满足∠F1MF2=60°,求点M的坐标。

解析 [注：选自选修1－1第44页A组题第4题]

(1) 法一 当双曲线的焦点在x轴上时，设－＝1(a＞0, b＞0), 则

, 解得：a2=－9, b2=－16, 舍去；

当双曲线的焦点在y轴上时，设－＝1(a＞0, b＞0), 则

, 解得：a2=16, b2=9, 所以所求方程为－＝1.

综上，双曲线的方程为－＝1.

法二 设双曲线的方程为Ax2－By2=1, 则

解得：A=－，B=－

所以所求方程为－＝1.

(2) 如图，设|MF1|=m, |MF2|=n, 则由双曲线的定义及余弦定理可得：

, 解得：m=-4, n=+4

设M(x,y)，则由解得：x=±，y=

由于点M在第一象限，故M(，).

法二：设△F1MF2 的面积为S，则

S=mnsin60°= (-4)(+4)sin60°= 

又，S=F1F2xm=5 xm

所以=5 xm，得：xm＝

20．(本题满分13分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y＝x＋1的对称点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．

解析：(1)由题意，得，解得。

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x3，y3)，M关于直线y＝x＋1的对称点为N(x4，y4)。

由, 消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，

∴Δ＝96－8m2>0，∴－2

∴x3＝＝－，y3＝x3＋m＝.

又，

∵点N(x4，y4)在圆x2＋y2＝1上，

或

经检验均满足－2

或
。

21．(本题满分14分) 已知B、C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18. 设顶点A的轨迹为曲线M.

(1) 求曲线M的方程；

(2) 设O为BC的中点，直线AB与曲线M的另一个交点为D，求△OAD面积的最大值。

解析 [注：选自选修1-1第28页例题1]

(1) 由已知得|AB|+|AC|=10, 由椭圆的定义可知点 A的轨

迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c=8, 2a=10, 即c=4, a=5,

所以b2=a2-c2=9。

如图建立直角坐标系，以BC所在直线为x轴，BC中

点为坐标原点。

当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C不能构成三角形。因此，点A的轨迹方程是

＋＝1(y≠0)。

(2)法一：

①当直线AD的斜率不存在时，易求得|AD|=，点O到直线AD的距离d=4，所以S△AOD = ；

②当直线AD的斜率存在时，设A(x1,y1), D(x2,y2), 直线AD的方程为y=k(x+4),则由

得：(25k2+9)x2+200k2x+400k2―225=0

所以x1+x2=－，x1x2=

于是|AD|= | x1―x2|

= 

= ×

= ×= 

又，点O到直线AD的距离d=

所以，S△AOD =|AD|d=180

令＝t，则S△AOD =180＝180

= 20

= 

≤ ＝

当，即时取等号。此时，.

由>知，S△AOD的最大值为。

法二：设A(x1,y1), D(x2,y2), 直线AD的方程为x=ty―4,则