一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.过点
倾斜角的余弦值是
的直线方程为(　B　)

A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0

C．3x＋4y＋10＝0 D．3x＋4y－8＝0

2.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是
，则该双曲线的渐近线方程是(　C　)

A．
B．
C．
D．

3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线
和x轴相切,则该圆的标准方程是(　B　)

A．
B．

C．
D．

4.已知椭圆
，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　C　)

A．1 B．5 C．8 D．10

5.如果不等式组
表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k的值为( D )

A．
　 B．0　 C．
　 D．0或

6.若抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为( A )

A． B． C． D．2

7.动点P到A(0，2)的距离比它到x轴的距离大2，则动点P的轨迹方程是(　D　)

A．
B．
或

C．
D．
或

8.已知双曲线的两个焦点为F1
、F2
，P是此双曲线上的一点，且
，
，则该双曲线的方程是(　C　)

A．
B．
C．
D．

【解析】设双曲线的方程为
－
=1.由题意||PF1|－|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=
.又∵|PF1|·|PF2|=2，∴a=2，b=1.故双曲线方程为
－y2=1.

9.已知双曲线C:
，直线l:
，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则m的所有取值个数是(　 　)A

A．1 B．2 C．3 D．4

10.设椭圆
的离心率为
，右焦点为
，方程
的两个实根分别为
和
，则点
(　 　)B

A．必在圆
上 B．必在圆
内

C．必在圆
外 D．以上三种情形都有可能

11.已知点
及抛物线
上一动点
，则
的最小值为( )A

A．1 B．2 C．4 D． 5

12.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，设∠DAB=
，
，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为
，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为
，设
，
，则
、
的大致图像是(　 　)D

【解析】设
，
，易知
，

在
中，由余弦定理得
，由双曲线和椭圆的定义知
，
，

，
，
，且
，故选D.

【另解】设双曲线焦距为
，当
时，
，若
，则
，又
，
；当
时，
,因而双曲线开口越大，故离心率
也越趋于
,观察
的大致图像，只有D的才符合.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．

13.一张坐标纸对折一次后，点
与点
重叠，则折痕所在直线与两坐标轴围成的面积是_______.【答案】9. 提示:可解得对称轴方程为
.

14.如果圆
与圆
总有公共点，则实数的取值范围是___________.

15.已知椭圆C:
的焦点为
，若点P在椭圆上，且满足
(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”，那么该椭圆上“★点”的个数是______.4

16.已知抛物线方程为
，过
作抛物线的弦
,
.若
，则原点O到直线
距离的最大值为_______.

【解析】依题意可设
，
，由AP⊥AQ知·＝0，可得y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.设PQ直线方程为x＝my＋n, 代入y2＝4x，结合韦达定理与上式得n＝2m＋5，所以直线方程为x＝(y＋2)·m＋5，知此直线过定点
，此时，原点O与点B的距离即为所求最大值，|OB|＝，故选D．

注：此题有一般性结论，即“抛物线
，过
作抛物线的弦
,
.若
，则直线
过定点
”.

三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本题满分10分）

已知在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），曲线
的参数方程为
(为参数).

（1）求直线和曲线
的普通方程；

（2）设点是曲线
上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.

【答案】（1）直线的普通方程为：
；

曲线
的普通方程为：

（2）点到直线的距离的取值范围是
.

18.（本题满分12分）

若直线的方程为
.

（1）求证：无论实数为何值时，直线总经过第一象限；

（2）为使直线不经过第二象限，求实数a在取值范围.

【答案】（1）经过定点
，（2）
.

19.（本题满分12分）

已知椭圆
经过点
，离心率为
，左右焦点分别为
.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线
与椭圆交于A、B两点，与以
为直径的圆交于C、D两点，且满足
，求直线的方程.

【解析】(1)由题设知
，解得
∴椭圆的方程为
＋
＝1.

(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝
.由d<1，得|m|<
，(*)

∴|CD|＝2
＝2
＝
.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由
，得x2－mx＋m2－3＝0，x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，

∴|AB|＝
＝

.

由
＝
，得
＝1，解得m＝±
，满足(*)．

∴直线l的方程为y＝－
x＋
或y＝－
x－
.

20.（本题满分12分）

已知抛物线C顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线C上的点
到F的距离等于2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若不与x轴垂直的直线
与抛物线C交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线
恰好过点
，求证：线段AB中点的横坐标为定值.

【解析】(1)由题意设抛物线方程为
，其准线方程为
，

∵
到焦点的距离等于A到其准线的距离

∴此抛物线的方程为
.

(2)证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜率为，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，联立方程
消去x，得
,

所以y1＋y2＝，因为N为AB中点，所以
，即
,

所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.

另证：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点差法得
，
，将
代入 ，得
.

21.（本题满分12分）

已知点
和直线
，作
垂足为Q，且
.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）过点C的直线与点P的轨迹交于两点
,

，点
，若
的面积为
，求直线的方程.

【解析】(1) 由已知
知
.

所以
设
，代入上式得

平方整理得

另解：

由第二定义知，点P的轨迹是以C为焦点，为相应准线的双曲线且
，又焦准距为
，解得
.

（2）由题意可知设直线的斜率不为零，且
恰为双曲线的右焦点，

设直线的方程为
，

由

若
，则直线与双曲线只有一个交点，这与
矛盾，故
.

由韦达定理可得

即

故直线的方程为
.

22.（本题满分12分）

已知椭圆
的长轴两端点分别为、，
是椭圆上的动点，以
为一边在x轴下方作矩形
，使
，
交
于点，
交
于点.

（1）如图1，若
，且为椭圆上顶点时，
的面积为12，原点到直线
的距离为
，求椭圆的方程；

（2）如图2，若
，试探究
、
、
能否成等比数列？

【解析】（1）如图1，当
时，
过点
，
，

∵
的面积为12，
，即
．①

此时
，直线
方程为
．

∴点
到
的距离
． ②

由①②解得
或
．

∴所求椭圆方程为
或
．

得
，
，即

又
，
.

而
．

，即有
成等比数列．