2014.12

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．按数列的排列规律猜想数列，－，，－，…的第10项是(　　)

A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．－

2．设a，b，c∈R，且a＞b，则(　　)

A．ac＞bc　 B．＜ C.a2＞b2 D．a3＞b3

3．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个

焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A．2　　　B．6　　　C．4　　　D．12

4．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A

在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A

与灯塔B的距离为(　　)

A．a km　 B.a km C.a km D．2a km

5．已知数列{
}，若点（n，an)(n∈N*)均在直线
上，则数列{an)的前9项和S9等于(　　)

A．18 B．20 C．22 D．24

6. 在
中，角
所对应的变分别为
，则
是
的(　　)

A．充分必要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

7.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为 (　　)

A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0，或x＞3} C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2，或x＞1}

8. 若变量满足约束条件
，则
的最小值为 ( )

A．
B． C．
D．

9. 下列命题的说法错误的是（ ）

A．命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.

B．“
”是“
”的充分不必要条件.

C．对于命题

为真命题

D．若
为假命题，则
均为假命题.

10. 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，右焦点F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)(　　)

A．必在圆x2＋y2＝1外 B．必在圆x2＋y2＝1上

C．必在圆x2＋y2＝1内 D．与x2＋y2＝1的位置关系跟e有关

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11．写出命题:“
”的否定: .

12．设等差数列
的前n项和为
，若
，则公差为________

13. 椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为__________________.

14. 若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是___________.

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15.（本题满分12分）

16．（本题满分12分）

已知命题：任意
，有
，命题：存在
，使得
.若“或为真”，“且为假”，求实数的取值范围．

17．（本题满分14分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

18．（本题满分14分）

已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，

（1）若

（2）若存在两项am，an使得＝4a1，求＋的最小值.

19．（本小题满分14分）

如图，椭圆：
的右焦点为，右顶点、

上顶点分别为点、，且
.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若斜率为2的直线过点
，且交椭圆于

、
两点，
.求直线的方程及椭圆的方程.

20．（本题满分14分）

已知数列
的前项和
满足：
，
，又设
，

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）若
，且
恒成立，求
和常数的范围；

（Ⅲ）证明：对任意的
，不等式
.

南开实验学校2014-2015学年第一学期期中考试

高二文科数学

参考答案:

选择题

二、填空题：

11.
12．3 13. 5或3 14. [1,19)

三、解答题

15．（本题满分12分）

16．（本题满分12分）

已知命题：任意
，有
，命题：存在
，使得
.若“或为真”，“且为假”，求实数的取值范围．

16．解：p真，任意
，有
，即
在
恒成立，

， 则a≤1???????????????????? ? …3分

q真，则△=（a-1）2-4＞0,即a＞3或a＜-1??? ?…6分

∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p,q中必有一个为真,另一个为假

当p真q假时，有
得-1≤a≤1? …8分

当p假q真时，有
得a＞3?????? ?…10分

∴实数a的取值范围为-1≤a≤1或a＞3? …12分

17．（本小题满分14分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

解析：(1)由已知及正弦定理得

sinA＝sinBcosC＋sinCsinB. …………………2分

又A＝π－(B＋C)，故

sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.

由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB， …………………4分

又B∈(0，π)，所以B＝. …………………6分

(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac. …………………8分

由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. …………………10分

又a2＋c2≥2ac， …………………12分

故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立． …………………13分

因此△ABC面积的最大值为＋1. …………………14分

18．（本小题满分14分）

已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，

（1）若

（2）若存在两项am，an使得＝4a1，求＋的最小值.

解：由题意可知，a5q2＝a5q＋2a5，

化简得q2－q－2＝0， 解得q＝－1(舍去)或q＝2， …………………2分

（1）
…………………4分

…………………8分

（2）由已知条件＝4a1，

得a1qm－1·a1qn－1＝16a，

∴qm＋n－2＝16＝24，所以m＋n＝6. …………………10分

所以＋＝×＝×≥×＝，………12分

当且仅当＝，即n＝2m＝4时取“＝”． …………………13分

所以＋的最小值为 . …………………14分

19．（本小题满分14分）

如图，椭圆：
的右焦点为，右顶点、

上顶点分别为点、，且
.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若斜率为2的直线过点
，且交椭圆于

、
两点，
.求直线的方程及椭圆的方程.

（Ⅰ）由已知|AB|＝
|BF|，即
＝
a，4a2+4b2=5a2，

4a2+4（a2-c2）=5a2，∴e＝
＝
． …………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：
+
＝1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y-2=2（x-0），即2x-y+2=0．……6分

由
?x2+4(2x+2)2?4b2＝0，即17x2+32x+16-4b2=0．△＝322+16×17(b2?4)＞0?b＞
．x1+x2＝?
，x1x2＝
．…………9分

∵OP⊥OQ，∴
?
＝0，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．…………………11分

从而
+4＝0，解得b=1， …………………13分

∴椭圆C的方程为
+y2＝1． …………………14分