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绍兴一中 期中测试试题卷高二（文科）数学 第I卷（共30分） 一、选择题: 本大题共10小题, 每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的． 1．与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A. (-1,3，-2) B. (-1，-3,2) C. (1,3,2) D. (1，-3，-2) 2.空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一直线上,那么过其中三个点的平面（ ） A.可能有三个，也可能有两个； B.可能有四个，也可能有一个； C.可能有三个，也可能有一个； D.可能有四个，也可能有三个； 3.空间直线a、b、c，平面，则下列命题中真命题的是（ ）： A. 若a⊥b,c⊥b,则a//c; B. 若a//c,c⊥b,则b⊥a; C. 若a与b是异面直线, a与c是异面直线, 则b与c也是异面直线. D. 若a// ，b//，则a// b; 4. 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的 数据，可得这个几何体的体积为（ ） A． B． C． D．12 5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（ ） A． B． C． D． 7．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB：A′B′＝ ( ) A．2：1 B．3 ：1 C．3：2 D．4 ：3 8．下列命题错误的是（ ） A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是“若方程没有实数根，则”； B．“”是“”的充分不必要条件； C．命题“若，则，中至少有一个为零”的否命题是“若，则，中至多有一个为零”； D．对于命题：，使得；则：，均有． 9、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( ) A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 10．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( ) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 第Ⅱ卷 非选择题部分 （共70分） 二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题3分, 共21分． 11．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为 . 12. 在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，若＝a，＝b， ＝c，试用基底{ a ，b，c}表示向量= . 13．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________. 14．已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC， SA=2,AB=BC=，则球O的表面积为_______． 15.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 . 16. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则棱 =_________ 17．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF.现有： ①AC⊥β；②AC∥BD；③AB与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是________．(填上你认为正确的所有条件的序号) 三、解答题: 本大题共5小题, 共49分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分8分)设命题p：?x0∈R，x＋2ax0－a＝0. 命题q：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1. （1）如果p是真命题，求实数的取值范围； （2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC，∠BCD=900 求证：PC⊥BC 求点A到平面PBC的距离 20. （本小题满分10分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的余弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？ 证明你的结论． 21．（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且， ，， （1）平面与平面是否垂直？并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值．
22.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点. (1)证明B1C1⊥CE. (2)求二面角B1-CE-C1的正弦值. (3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长. 绍兴一中 高二数学（文）期中考答题纸 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11、 . 12、 . 13、 . 14、 15、 . 16、 . 17、 . 三、解答题（本大题共5小题, 共49分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤） 18．(本小题满分8分)设命题p：?x0∈R，x＋2ax0－a＝0. 命题q：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1. （1）如果p是真命题，求实数的取值范围； （2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC，∠BCD=900 求证：PC⊥BC 求点A到平面PBC的距离 20. （本小题满分10分）如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？ 证明你的结论．
21．（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且， ，。 （1）平面与平面是否垂直？并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 22.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点. (1)证明B1C1⊥CE. (2)求二面角B1-CE-C1的正弦值. (3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长. 绍兴一中 期中测试试题卷 高二（文科）数学 第I卷（共30分） 【解析】 当α⊥β时，由于α∩β＝m，b?β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a?α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件． 而当a?α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A. 【答案】 A 6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（D ） A． B． C． D． 7．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB：A′B′＝ ( A ) A．2：1 B．3 ：1 C．3：2 D．4 ：3 [解析] 在Rt△ABB′中，AB′＝AB·cos＝AB. 在Rt△ABA′中，AA′＝AB·sin＝AB. 在Rt△AA′B′中，A′B′＝＝AB. ∴AB：A′B′＝2：1，选A. 8．下列命题错误的是（ C ） A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是“若方程没有实数根，则”； B．“”是“”的充分不必要条件； C．命题“若，则，中至少有一个为零”的否命题是“若，则，中至多有一个为零”； D．对于命题：，使得；则：，均有． 9、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（A ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 10．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( D ) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC [答案] D [解析] 在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC 第Ⅱ卷 非选择题部分 （共70分） 二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为 。 (－1,0,0)，(－1,2,0) 【解析】 点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故(－1,0,0)，(－1,2,0) 12. 在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，若＝a，＝b， ＝c，试用基底{ a ，b，c}表示向量= . .a＋b＋c C的重心，∴＝＝·(＋)＝(＋－2)，∴＝＋＝(＋＋)＝a＋b＋c. 13．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________． 直角三角形 【解析】 ∵＝(5,1，－7).＝(2，－3,1)，∴·＝10－3－7＝0. ∴⊥，∴∠ACB＝90°，又∵||≠||， ∴△ABC为直角三角形． 【答案】 直角三角形 14．已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC， SA=2,AB=BC=，则球O的表面积为_______．8π 答案：8π．提示：三棱锥S—ABC是长方体的一角，它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相同．2R=，R=． 15.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 . 【解析】 设正方体的棱长为1，建系如图． 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)． 平面ACD1的法向量为＝(1,1,1)． 又＝(0,0,1)， 则cos〈，〉＝＝＝. 故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝. 16. 在长方体中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，则棱 =_________3 解：设，由题设， 得，即，解得．故的长为 17．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF.现有： ①AC⊥β；②AC∥BD；③AB与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF. 那么上述几个条件中能成为增加条件的是________．(填上你认为正确的所有条件的序号) [答案] ①③ [解析] ?EF⊥BD，故①正确； ?AB与CD确定的平面ABDC⊥β， ?EF⊥平面ABDC?EF⊥BD故③正确． 三、解答题: 本大题共5小题, 共42分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分8分)设命题p：?x0∈R，x＋2ax0－a＝0.命题q：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1. （1）如果p是真命题，求实数的取值范围； （2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 【解】 （1）当p为真时，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，a的取值范围为 2分 （2）当q为真时，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立 ∴即a≥2 4分 由题意得，命题p与q一真一假． 当命题p为真，命题q为假时，得 6分 当命题p为假，命题q为真时，得a∈?. ∴实数a的取值范围为． 8分 19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC，∠BCD=900 求证：PC⊥BC 求点A到平面PBC的距离 答案：（1）略 ……4分（2） 2DH= 为所求…………9分 20．（本小题满分10分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的余弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？ 证明你的结论． 20． [解析] 解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系． (1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)， 所以＝(－1,1，)，＝(0,1,0)． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为θ，则 sinθ＝＝＝.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.余弦值为5分 (2)依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1), ＝(－1,1，)． 设n＝(x，y，z)是平面A1B | ||||||||||||||||||||||||||||||
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