命题人：刘刚

选择题（每题5分，共60分）

1．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（ ）种

A.35 B.16 C.20 D.25

2. 已知
为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点满足条件

，则动点的轨迹一定通过
的（ ）

A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

3. 函数函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=-对称．据此可推测对任意的非0实数a、b、c、m、n、g关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+g=0的解集不可能是( )

A.{1，3} B.{2，4} C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}

4. 在△ABC中，已知a=2，b=
，A=45°，则B等于（ ）

A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°

5. 运行如图所示的程序框图，则输出的实数对（x，y）所对应的点都在函数（ ）

y=x+1图像上

y=2x图像上

y=2x图像上

y=2x-1图像上

6. 已知Z1，Z2是两个给定的复数，且Z1≠Z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2．如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0，那么z对应的点Z的集合是（ ）

A．双曲线

B．线段Z1Z2的垂直平分线

C．分别过Z1，Z2的两条相交直线

D．椭圆

7. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（ ）

A．869 B．870 C．871 D．875

8. 如图，已知椭圆
，双曲线
(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（ ）

A、5 B、
C、
D、

9. 已知、
、是
的三边长，且满足
，则
一定是（ ）．

A、等腰非等边三角形 B、等边三角形

C、直角三角形 D、等腰直角三角形

10. 已知函数f(n)＝
，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2014等于( )

A．－2013 B．－2014 C．2013 D．2014

11. 如右图，在长方体
中，
=11，
=7，
=12，一质点从顶点A射向点
，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将
次到第次反射点之间的线段记为
，
，将线段
竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

12. 定义域为R的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数t的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题（每小题5分，共20分）

13. 我们称满足下面条件的函数
为“
函数”：存在一条与函数
的图象有两个不同交点（设为
）的直线，?
在
处的切线与此直线平行.下列函数：

①
②
③
④
,

其中为“
函数”的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）

14. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2,3a5＝b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an＝3logubn＋v，则u＋v＝________.

15. 在
中，不等式
成立；在凸四边形ABCD中，

不等式
成立；在凸五边形ABCDE中，不等式
成立，，依此类推，在凸n边形
中，不等式
__ ___成立.

16. 定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点．例如y＝| x |是
上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：

①函数
是
上的“平均值函数”．

②若
是
上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥
．

③若函数
是
上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是
．

④若
是区间[a，b] （b＞a≥1）上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，则
．

其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）

）

17.（12分）如图所示，在直径为BC的半圆中,A是弧BC上一点，正方形PQRS内接于△ABC，若BC=a,∠ABC=θ，设△ABC的面积为Sl，正方形PQRS的面积为S2.

（1）用a，θ表示S1和S2；

（2)当a固定，θ变化时，求
取得最小值时θ的值

18.（12分）一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2.

(1)求证：AC⊥BD.

(2)求三棱锥E-BCD的体积.

19.（12分））已知椭圆
：
（
）和圆
：
，
分别是椭圆的左、右两焦点，过
且倾斜角为（
）的动直线
交椭圆
于
两点，交圆
于
两点（如图所示，点在轴上方）.当
时，弦
的长为
.

（1）求圆
与椭圆
的方程；

（2）若
成等差数列，求直线
的方程.

20. （12分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系
位学生参加（和
都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系
位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为

（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（2）求使
取得最大值的整数。

21.（12分）已知函数

（1）若
=1，解不等式

（2）若a=1，当
时，
恒成立，求
的取值范围

22.（10分）在锐角△ABC中，向量
，
，且
，

（1）求B；

（2）求
的单调减区间；

（3）若
，求
．

公主岭一中2014—2015学年度第一学期学科竞赛测试

高二数学（理）（答案） 命题人：刘刚

选择题（60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

D

A

D

B

B

C

B

D

C

D



填空题（20分）

13. ②③ 14. 6 15.
16. ①③④

解答题（70分）

17. （1）
，
；（2）

18. （1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD因为BD平面EBD，所以以AC⊥BD。

所以BC=4，AB=AC=
由（1）知，AC⊥平面EBD，所以
因为EA⊥平面ABC，AB平面ABC，所以EA⊥AB，即ED⊥AB，其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，AB=AC=
所以
所以
。

19. （1）椭圆
的方程为：
，
：
；（2）直线
的方程为：
.

20. （1）设事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A和B是相互独立的事件，则
与
?相互独立，而
所以
因此，学生甲收到活动通知信息的概率为
.（2）当
时，只能取，有
当
，整数满足
，其中是
和中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给
位同学”所包含的基本事件总数为
.当
时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为
，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为
，则由乘法计数原理知：事件
所含基本事件数为
此时
当
，

化简解得
假如
成立，则当
能被
整除时，
，故