命题人：辛长虹

选择题（每题5分，共60分）

1．对于任意的两个实数对（a, b）和(c, d),规定（a, b）＝(c, d)当且仅当a＝c ,b＝d;运算

“
”为：
，运算“
”为：

，设
，若

则
( )

A．
B．
C．
D．

【答案】A

2．若不等式组
，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.
或

【答案】D

3．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n>l，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

4．通过随机调查110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

A．有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】A

5．函数

的图象如下图，则（ ）

A、

B、

C、

D、

【答案】A

6．已知、
、
是单位圆上互不相同的三个点,且满足
，则

的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

7．已知椭圆

上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）

A、
B、
C、
D、

【答案】A

8．对任意非零实数
，定义
的算法原理如右侧程序框图所示.设为函数
的最大值，
为双曲线
的离心率，则计算机执行该运算后输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

9．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（　　）

A．由an=2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn=n2

B．由f（x）=xcosx满足f（﹣x）=﹣f（x）对
都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数

C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，推断：椭圆
=1的面积S=πab

D．由
，…，推断：对一切
，（n+1）2＞2n

【答案】A.

10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数
（
表示不大于的最大整数）可以表示为 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】

11．高为
的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A

12．已知函数
，
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则函数
的大致图象为（ ）

【答案】D

二、填空题（每题5分，共20分）



13．已知函数
的定义域为[
]，部分对应值如下表：



0

4

5





1

2

2

1




的导函数
的图象如图所示，

下列关于
的命题：①函数
是周期函数；②函数
在[0,2]上是减

函数；③如果当
时，
的最大值是2，那么的

最大值是4；④当
时，函数
有4个零点；

⑤函数
的零点个数可能为0，1，2，3，4。其中正确命题的序号是_____________（写出所有正确命题的序号）.

【答案】②⑤

14．定义两个平面向量的一种运算
，则关于平面向量上述运算的以下结论中，

①
，

②
，

③若
，则
，

④若
且
则
．

恒成立的有 .(填序号 )

【答案】①③④

15．设
的三边长分别为
，
的面积为
，内切圆半径为，则
；类比这个结论可知：四面体
的四个面的面积分别为
，内切球的半径为，四面体
的体积为
，则
.

【答案】

16．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长
（单位：米）的值有关，其公式为

（1）如果不限定车型，
，则最大车流量为_______辆/小时；

（2）如果限定车型，
，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.

【答案】（1）1900；（2）100

三、解答题（共70分）



17．（10分）已知函数

：
的图象的两条相邻对称轴间的距离等于
，在ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，若
， b+c=3，
，求ABC的面积．

【答案】

18．（12分）已知向量
，
，且
．

(1)求点
的轨迹
的方程；

(2)设曲线
与直线
相交于不同的两点
，又点
，当
时，求实数的取值范围．

【答案】(1)
.(2)当
时，m的取值范围是
，当
时，m的取值范围是
.

19．（12分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形， ED(面ABCD，
．

（1）求证:
；

（2）若
．

【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）
．

20．（12分）点
为曲线
上任一点，点
，直线
，点到直线
的距离为
，且满足
.

（1）求曲线
的轨迹方程；

（2）点
，点
为直线
上的一个动点，且直线
与曲线
交于两点
，直线
与曲线
交于两点
，求
的取值范围.

【答案】（1）
（2）

21．（12分）2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：

（1）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？

（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；

（3）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．

【答案】（1）a＝0.06，系统抽样；（2）77.5km/h，77.9km/h；（3）

22．（12分）设
已知
和
在
处有相同的切线.

（1）求
的解析式；

（2）求
在
上的最小值；

（3）若对
恒成立，求实数
的取值范围.

【答案】（1）
，
；（2）

（3）
.