参考公式：

球的表面积公式

S=4πR2

球的体积公式

V=
πR3

其中R表示球的半径

锥体的体积公式

V=
Sh

其中S表示锥体的底面积， h表示锥体的高



柱体的体积公式

V=Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

台体的体积公式

V=
h(S1+
+S2)

其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高



一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．不等式(x＋1)(2－x)≤0的解集为

A．{x|－2≤x≤1} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x≤－1或x≥2} D．{x|x≤－2或x≥1}

2．若a＜0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2之间的大小关系是

A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a

3．若不等式x2＋mx＋＞0恒成立，则实数m的取值范围是

A．m＞2 B．m＜2 C．m＜0或m＞2 D．0＜m＜2

4．下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　

A．三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面

5．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集是

A. B．{x|x>a} C. D.

6．三棱锥的四个面中，直角三角形最多的个数是

A. 1 B .2 C .3 D .4

7．下面四个命题：

①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条 ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条

③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个 ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个

其中正确的是

A．①④　　　　　　　　B ．②③ C．①②　　　　　　　　D.③④

8. 已知点P是△ABC所在平面外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，在下列条件下：P到△ABC三个顶点距离相等；P到△ABC三边距离相等；AP、BP、CP两两互相垂直，点O分别是△ABC的

A．垂心，外心，内心 B．外心，内心，垂心 C．内心，外心，垂心 D．内心，垂心，外心

9．如图，
到
的距离分别是和
，
与
所成的角分别是
和，
在
内的射影长分别是和，若
，则

A．
B．

C．
D．

10. 若不等式
对任意的
上恒成立，则的取值范围是

二．填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)

11. 不等式组
的解集是 ▲ .

12.设
则
这四个数中最大的是 ▲ .

13．若正数a、b满足
，则
的取值范围是 ▲ .

14. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点。设GF，C1E与AB所成的分别为
，则
▲ .

15.如图直三棱柱ABB1-DCC1中， BB1⊥AB， AB=4，BC=2，CC1=1，

DC上有一动点P， 则△APC1周长的最小值是 ▲ .

16. 已知右上图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ▲ .

17. 有两个相同的直三棱柱，高为
，底面三角形的三边长分别为
。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是___▲_______.

三．解答题: (本大题共5小题,共49分)

18. (本题满分9分)

如图，是一个奖杯的三视图（单位：cm），

底座是正四棱台．

（Ⅰ）求这个奖杯的体积（取
）；

（Ⅱ）求这个奖杯底座的侧面积．

19．（本小题满分10分）

如图所示，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
．

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）若是棱
的中点，为
的中点，证明
平行平面

20． （本小题满分10分）

如图，四棱锥
的底面是正方形，
，点在棱
上.

（Ⅰ）求证：平面
；

（Ⅱ）当
且为
的中点时，求
与平面
所成的角的大小.

21. (本题满分10分)

将一个长、宽分别
的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，

（Ⅰ）设切去小正方形的边长为，用
表示这个长方体的外接球的半径；

（Ⅱ）若这个长方体的外接球的体积存在最小值，求
的取值范围．

22. (本题满分10分)

如图，已知
平面
，
于D，
。

（Ⅰ）令
，
，试把
表示为的函数，并求其最大值；

（Ⅱ）在直线PA上是否存在一点Q，使得
？

(注意：解答均在答题卷上，试题卷不上交)

高二年级上学期数学第一次阶段测试

参考公式：

球的表面积公式

S=4πR2

球的体积公式

V=
πR3

其中R表示球的半径

锥体的体积公式

V=
Sh

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高



柱体的体积公式

V=Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

台体的体积公式

V=
h(S1+
+S2)

其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高



一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．不等式(x＋1)(2－x)≤0的解集为(　 C　)

A．{x|－2≤x≤1} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x≤－1或x≥2} D．{x|x≤－2或x≥1}

2．若a＜0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2之间的大小关系是(　D　)

A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a

3．若不等式x2＋mx＋＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　D　)

A．m＞2 B．m＜2 C．m＜0或m＞2 D．0＜m＜2

4．下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　（ D ）

A．三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面

5．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集是(　 A 　)

A. B．{x|x>a} C. D.

6．三棱锥的四个面中，直角三角形最多的个数是 （ D ）

A. 1 B .2 C .3 D .4

7．下面四个命题：

①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条 ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条

③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个 ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个

其中正确的是(　 B 　)

A．①④　　　　　　　　 B．②③ C．①②　　　　　　　　 D．③④

8. 已知点P是△ABC所在平面外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，在下列条件下：P到△ABC三个顶点距离相等；P到△ABC三边距离相等；AP、BP、CP两两互相垂直，点O分别是△ABC的（ B ）

A．垂心，外心，内心 B．外心，内心，垂心 C．内心，外心，垂心 D．内心，垂心，外心

9．如图，
到
的距离分别是和
，
与
所成的角分别是
和，
在
内的射影长分别是和，若
，则（ D ）

A．
B．

C．
D．

10. 若不等式
对任意的
上恒成立，则的取值范围是( D )

二．填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)

11. 不等式组
的解集是
；

12.设
则
这四个数中最大的是
；

13．若正数a、b满足
，则
的取值范围是
.

14. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点。设GF，C1E与AB所成的分别为
，则

.

15.如图直三棱柱ABB1-DCC1中， BB1⊥AB， AB=4，BC=2，CC1=1，

DC上有一动点P， 则△APC1周长的最小值是 .

16. 已知右上图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 . 8π

17. 有两个相同的直三棱柱，高为
，底面三角形的三边长分别为
。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________。

三．解答题

18. (本题满分9分)

如图，是一个奖杯的三视图（单位：cm），

底座是正四棱台．

（Ⅰ）求这个奖杯的体积（取
）；

（Ⅱ）求这个奖杯底座的侧面积．

第18题图)

18.解：（Ⅰ）球的体积是
；

圆柱的体积是
；

正四棱台的体积是
；

此几何体的体积是
（cm3）．

（Ⅱ）底座是正四棱台，它的斜高是
，

所以它的侧面积是
（cm2）．

19．（本小题满分10分）

如图所示，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
．

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）若是棱
的中点，为
的中点，证明
平行平面

19．【解】在
中，
，
，∴
．

∵
，∴四边形
为正方形．

（Ⅱ）当点为棱
的中点时，
平面
．

证明如下：

如图，取
的中点，连
、
、
，

∵、、分别为
、
、
的中点，

∴
．

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
．　　　　

同理可证
平面
．

∵
，

∴平面

平面
．

∵
平面
，∴
平面
．

20． （本小题满分10分）

如图，四棱锥
的底面是正方形，
，点在棱
上.

（Ⅰ）求证：平面
；

、

21. (本题满分10分)

将一个长、宽分别
的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，

（1）设切去小正方形的边长为，用
表示这个长方体的外接球的半径，

(2)若这个长方体的外接球的体积存在最小值，求
的取值范围．

简解：(1)设切去的正方形的边长为，长方体对角线长
的平方

(2)由
对称轴：
当长方体的外接球的体积存在最小值时，

22. (本题满分10分)

如图，已知
平面
，
于D，
。

（1）令
，
，试把
表示为的函数，并求其最大值；

、