绵阳南山中学2016届第二学年入学考试数学

命题人：黄晓玲 审题人：王怀修 杨周建 考试时间：100分钟

一．选择题：本大共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．

1.已知向量
，则实数的值为

A.3 B.-3 C.2 D.-2

2.在
中，已知
，则角

A.
　　　　 B.
　　　　　 C.
　　　　　 D.

3. 若直线经过
两点，则直线
的倾斜角为

A.
B.
C.
D.

4.已知三条直线
，两个平面
．则下列命题中：①
；②
；③
；④
；⑤
，正确的命题是

A．①⑤　 　 B．①②　　　　　C．②④　　　　D．③⑤　

5.在

A.
　　　　 B.
　　　　　 C.
　　　　　 D.

6．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于

A. B. C.
D.

7.已知
的值为

A.
B.
C.
D.

8.已知
是等比数列，
等于

A.7 B.
C.14 D.不确定 （6题图）

9.若
的值为

A.
B.
C.

D.

10.设
是平面直角坐标系中两两不同的四点,若
,

,且
，则称
调和分割
.已知平面上的点
调和分割点
，则下列说法正确的是

A.
可能线段
的中点 B.可能线段
的中点

C.
可能同时在线段
上 D.
不可能同时在线段
的延长线上

二．填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

11.已知数列
满足
．

12.已知
，
与
的夹角为
，则
= ．

13．已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是
，则该三棱柱的侧棱长 ．

14．为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C,D,在某时刻观察到该航船在A处，此时测得
，3分钟后该船行驶至B处，此时测得
，
,
，则船速为 千米/分钟

15．如图，设
，且
.当
时，定义平面坐标系
为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：
分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若
，则记为
，下列结论中

①设
、
，若
，则
；

②设
，则
；

③设
、
，若
，则
；

④设
、
，若
，则
； （15题图）

⑤设
、
，若
与
的夹角
，则
.

正确的有 .（填上所有正确结论的序号）

三．解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．设向量

⑴若
;

⑵设函数
的最大值.

17．在
中，角为锐角，已知内角、、
所对的边分别为、
、，向量
且向量
共线．

⑴求角的大小;

⑵如果
，且
,求
的值.

18．如图，边长为2的正方形
所在的平面与平面
垂直，
与
的交点为
，
，且
.

⑴求证：
平面
；

⑵求直线
与平面
所成线面角的正切值.

19．已知等差数列
的首项
，公差
，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列
的第二、三、四项．

⑴求数列
与
的通项公式；

⑵令数列
满足：
＝
，求数列
的前101项之和
；

⑶设数列
对任意
，均有
＋
＋…＋
＝
成立，求
的值．

2016届第二学年入学考试数学参考答案

1.B 2. D 3.C 4.A 5. A 6. B 7. D 8. B 9. C 10. D

11．2013 12.
13.
14.

15. 【答案】①、③、⑤.

【解析】

试题分析：显然①正确；
，∵
，所以②错误；由
得
,所以
，所以
，故③正确；∵
，所以④错误；根据夹角公式
，又
，

得
，故
，即

，⑤正确

所以正确的是①、③、⑤.

16. (1)由
，……2分

及
，得
……………………………………………………………………3分

又
，从而
，所以
．………………………………………………5分

(2)
，

……………………………………………………………………………8分

当
时,
取最大值1．

所以f(x)的最大值为
．…………………………………………………………………`10分

17（1）由向量
共线有：
……………2分

即
， …………………………………………………………………… 3分

又
，所以
，则
=
，即
……… 5分

（2）由
，得
……………… 7分

由余弦定理得
…………………………………8分

…………………………………10分

18. 解： (1) ∵平面
平面
,平面
平面
,

,
………………………………………2分

又
,
………………………………………3分

∵四边形
是正方形 ，
，

平面
． ……………………………………………………5分

(2) 取AB的中点F,连结CF,EF.

,平面
平面
,平面
平面

……………………………………………6分

又
,
…………………………7分

即为直线EC与平面ABE所成角。…………………………..8分

在
中，
………10分

19（1）由题意得：(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2 (d＞0)，

解得d＝2，∴an＝2n－1． …………………………………………2分

∴b2＝a2＝3, b3＝a5＝9,∴bn＝3n?1 …………………………………………3分

（2）∵a101＝201，b2＝3

∴T101＝(a1＋a3＋…＋a101)＋(b2＋b4＋…＋b100)＝
＋

＝5151＋
…………………6分

（3）当n≥2时，由
＝
＋
＋…＋
－(
＋
＋…＋
)＝an+1－an＝2

得cn＝2bn＝2·3n?1，

当n＝1时，c1＝3．故cn＝
……………………………8分

故c1＋c2＋…＋c2014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32013＝32014．…………………10分