江苏省扬州中学2014—2015学年第一学期质量检测

高二数学试卷

一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分。

1、若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝_______.

2、若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为________．

3、设
是正方体的一条棱，则这个正方体中与
垂直的棱共有 条

4、直线
右上方（不含边界）的平面区域用不等式?? ??表示．

5、若一个球的体积为4π，则它的表面积为__ ______．

6、直线a,b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a,b位置关系是

7、将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 的半圆，则该圆锥的高为

8、过点C(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2＝______.

9、已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有
＝
＋
(O为坐标原点)，则实数k＝_______.

10. 设
为两个不重合的平面，
是两条不重合的直线，给出下列四个命题：

①若
，
，
，
，则
；

②若

相交且不垂直，则
不垂直；

③若
，则n⊥
；④若
，则
．

其中所有真命题的序号是　 　．（写出所有真命题的序号）

11、正三棱锥
高为2，侧棱与底面成
角，则点A到侧面
的距离是

12、过圆x2＋y2＝4内一点P(1,1)作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC＝BD时，四边形ABCD的面积为_______．

13、设
，若直线
与圆
相切，则m+n的取值范围是

14、平面直角坐标系中，已知点A(1，－2)，B(4,0)，P(a,1)， N(a＋1,1)，当四边形PABN的周长最小时，过三点A，P，N的圆的圆心坐标是________．

二、解答题：本大题共6小题，满分90分．

15．如图，在四面体ABCD中，
，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且
．

（1）若EF∥平面ABD，求实数
的值；

（2）求证：平面BCD⊥平面AED．

16．已知：无论
取何值，直线
始终平分半径为2的圆

（1）求圆
的标准方程（2）自点
作圆
的切线
，求切线
的方程

17．如图，在四棱锥
中，平面

平面
， BC//平面PAD，

,
．

求证：（1）
平面
；（2）平面
平面
．

18、如图所示，在棱长为2的正方体
中，
、
分别为
、
的中点．

（1）求证：
//平面
；（2）求证：
；

（3）求三棱锥
的体积．

19. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.

(1)若过点C1(－1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为，求直线l的方程；

(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．

①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；

②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

高二数学质量检测参考答案 2014.10

1.  2. 1 3. 8 4.
5. 12π 6.相交或异面

7.
8. _25_ 9. 0 10. ④ 11.
12. 6

13.
14. 

15. 解：（1）因为EF∥平面ABD，易得
平面ABC，

平面ABC
平面ABD
，

所以
，（5分）

又点E是BC的中点，点F在线段AC上，

所以点F为AC的中点，

由
得
；（7分）

（2）因为
，点E是BC的中点，

所以
，
，（9分）

又
，
平面AED，

所以
平面AED，（12分）

而
平面BCD，

所以平面BCD⊥平面AED．（14分）

16. （1）直线过定点
据题意知圆心
，故圆
的标准方程为

（2）直线
垂直于
轴时，合题，方程为

直线
不垂直于轴时，设方程为
即

由
得
此时方程为

综上，所求直线方程为
或

17. 【证】（1）因为BC//平面PAD，

而BC
平面ABCD，平面ABCD
平面PAD = AD，

所以BC//AD． …………………………………3分

因为AD
平面PBC，BC
平面PBC，

所以
平面
．…………………………………………6分

（2）自P作PH
AB于H，因为平面

平面
，且平面

平面
=AB，

所以
平面
．…………………………………9分

因为BC
平面ABCD，所以BC
PH．

因为

,所以BC
PB，

而
，于是点H与B不重合，即PB
PH = H．

因为PB，PH
平面PAB，所以BC
平面PAB．…………12分

因为BC
平面PBC，故平面PBC
平面PAB．…………… 14分

18. 证明：（1）连结
，在
中，
、
分别为
，
的中点，则

（2）

（3）

且

，

∴

即

=

=

19. 解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，

与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．

故可设C的圆心为(3，t)，

则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.

则圆C的半径为＝3.

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组



消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.

从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.　①

由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.

又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.　②

由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.

20. [解]　(1)设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＝0.

因为直线l被圆C2截得的弦长为，而圆C2的半径为1，所以圆心C2(3,4)到l：kx－y＋k＝0的距离为＝.

化简，得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝.

所以直线l的方程为4x－3y＋4＝0或3x－4y＋3＝0.

(2)①证明：设圆心C(x，y)，由题意，得CC1＝CC2，

即＝.

化简得x＋y－3＝0，

即动圆圆心C在定直线x＋y－3＝0上运动．

②圆C过定点，设C(m,3－m)，

则动圆C的半径为

＝.

于是动圆C的方程为(x－m)2＋(y－3＋m)2

＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2.

整理，得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0.

由 

得或 

所以定点的坐标为

，.