时间:120分钟 满分:150分 出题人:赵倩楠 审核人:郭振亮

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．平行于同一直线的两直线平行. ∵a∥b，b∥c，∴a∥c. 这个推理称为

合情推理 B.归纳推理 C.类比推理 D. 演绎推理

已知随机变量X服从正态分布
，且
，则
的值等于（ ）

A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4

3．由直线
，
，曲线
及轴所围图形的面积是（ ）

A．
　　　 B．
　　　C．
　　　D．

4．设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处切线的斜率为（ ）

A．　　 　 B．
　 C． 　　 D．

5．若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为(　　)

A．2πR2 B．πR2 C．4πR2 D. πR2

6. 已知随机变量
，若
，则
分别是( )

A.6和
B.2和
C.2和
D.6和

7．已知
上有最大值
，那么此函数在
上的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.如果生男孩和生女孩的概率相等，有一对夫妻生有3个小孩，已知这对夫妻的孩子有一个是女孩，那么这对夫妻有男孩的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.若函数
,且
是函数
的导函数，则
（ ）

A.
B. C.
D.

10.用数学归纳法证明错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
，则当错误！未找到引用源。时左端应在错误！未找到引用源。的基础上加上( )

A．
错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。

11.函数
是定义在
上的非负可导函数，且满足
，对任意正数、
，若
，则必有（ ）

A.
B.

C.
D.

12.若函数f(x)=
的图象如图所示，则一定有（ ）

A. a<0 b>0 c>0 d<0

B .a<0 b<0 c>0 d<0

C .a<0 b>0 c<0 d<0

D .a<0 b<0 c<0 d<0

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 求定积分错误！未找到引用源。=________．

14. 已知函数
在
处有极大值，则=________．

15.在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4 条线段，将圆分割成4部分……在圆内画6条线段，它们彼此最多分割成 条线段；将圆最多分割成 部分.

16.给出下列结论：

（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；

（2）某工厂加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；

（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；

（4）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件：“甲，乙都没有击中目标”是相互独立事件。

其中结论正确的是 。（把所有正确结论的序号填上）

三、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分.)

17. 袋中有4只红球、3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的分布列及数学期望.

18．已知曲线
.

（1）求曲线在点
处的切线方程；

（2）求曲线过点
的切线方程；

（3）求斜率为4的曲线的切线方程.

19. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为
米,体积为
立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).

(1)将
表示成的函数
,并求该函数的定义域;(2)讨论函数
的单调性,并确定和
为何值时该蓄水池的体积最大.

20. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，

(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的

分布列， 均值和方差．

21.是否存在常数错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。使等式

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。对一切正整数成立？证明你的结论.

22. 已知函数
，其中a为大于零的常数

（1）若函数
在区间
内单调递增，求a的取值范围；

（2）求函数
在区间
上的最小值；

（3）求证：对于任意的
＞1时，都有
＞
成立。

20 [解析]　分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.

(1)设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

P(E)＝P(A1··)＋P(·A2·)＋P(··A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.

(2) 解：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则

P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，

所以P(X＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，

P(X＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，

P(X＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，

P(X＝3)＝0.33＝0.027.

因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以X～B(3,0.3)，

故E(X)＝np＝3×0.3＝0.9.D (X)＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。

21. [解析]　分别用n＝1,2,3代入解方程组

?

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，由上可知等式成立；

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即1(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2，

则当n＝k＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1·(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4＋k2＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝(k＋1)4－(k＋1)2.

∴当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)，(2)得等式对一切的n∈N*均成立．

22.