一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知
是实数，设是虚数单位，若
则复数
是（ ）

A、
B、
C、
D、

2、已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X<2c+1）=P(X>c+5)，则c=（ ）

A、
B、
C、0 D、4

3、若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是（ ）

A、
B、
C、
D、

4、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（　 ）

A、
B、
C、
D、

5、
的展开式中常数项为（ ）

A、-40 B、-10 C、10 D、40

6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）

A、2
B、4
C、4
D、12

7、函数
在区间
上有最小值，则实数的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

8、椭圆C：
的左右焦点分别为
，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得
为等腰三角形，则椭圆C的离心率取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

9、现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（ ）

A、53 B、67 C、85 D、91

10、已知实数
满足
且
， 不等式
M恒成立，则M的最大值是 ( )

A、
B、
C、
D、

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。

11、设集合A＝{(x，y)|
}，B＝{(x，y)|y＝
}，则A∩B的子集的个数是_______

12、在R上定义运算
，若
成立，则的集合是_________

13、函数
在
内单增，的取值范围是

考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，

E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与

AE、BE相交于C、D，若∠AEB=
,则∠PCE

等于 .

15、直线
（为参数,
）与圆
（
为参数）相交所得的弦长的取值范围是 .

16、已知函数f (x)＝|x－2|－|x－5|，则不等式f (x)≥x2－8x＋15的解集为________.

三、解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(13分)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0，命题q:

（1）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围；

（2）若m=5，“
”为真命题，“
”为假命题，求实数x的取值范围。

18、(13分)为了应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士（分别记为、、
、）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、爆破的概率分别为
.这三项测试能否通过相互之间没有影响．

（1）求能够入选的概率；

（2）规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望（期望精确到个位）．

19、(13分)如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
，已知
，为线段
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的平面角的余弦值.

20、(12分)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex其中e是自然对数的底数a∈R.

(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若a<0，求f(x)的单调区间；

(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数
的图象有3个不同的交点，求 实数m的取值范围．

21、(12分)如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：

的左、右焦点，抛物线
与椭圆C在第一象限的交点到
的距离为
．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线
上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由。

22、(12分)已知正项数列{
}满足

判断数列{
}的单调性；

求证：

2014年重庆一中高2015级高二下期期末考试

数学答案（理科）

一.选择题

（Ⅱ）记
表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为
，又
可能的取值为0，1，2，3，4.

，
，

，
，

0

1

2

3

4



P















∴训练经费
的分布列为：



5000

10000

15000

20000



















，

由

，令
，则

设平面
的法向量为
，

，

由
，令
，则
，

设二面角
的平面角的大小为
，则

二面角
的平面角的余弦值为

（3）由（2）已知f(x)＝(-x2＋x－1)ex在
递减，在
递增，在
上单调递减，所以f（x）在x= -1处取得极小值
，在x=0取得极大值-1

g（x）经过分析在在
递增，在
递减，在
上单调递增

故g（x）在x=-1取得极大值在
，在x=0取得极小值m

因为函数f（x）与g（x）图像有3个不同的交点。

所以

所以

（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为
，

此时
，
，
，不合题意．

当直线AB不垂直于x轴时，设存在点
，
.

设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），

由
，得
，

则
，故
，此时，直线PQ的斜率为k1=﹣4m，

PQ的直线方程为y﹣m=﹣4m（x+
），即y=﹣4mx﹣m．

联立
，消去y，整理，得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．

∴
，x1x2=
，

由题意
=0， ∴
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2

=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）

=（1+16m2）x1x2+（4m2﹣1）（x1+x2）+1+m2

=
+
+1+m2

=
=0，∴m=
．

∵M在椭圆内，∴
，∴m=
符合条件．

综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M（﹣
，﹣
）和M（﹣
，
）．

再证：

.

当
时，

.

易验证当n=1时,上式也成立.

综上,故有
成立.