江西省上高二中2013-2014学年高二下学期期末考试数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知i为虚数单位，复数
，则复数
在复平面上的对应点位于（ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

2.下列函数中，满足“
”的单调递增函数是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为
，点数之和大于5的概率记为
，点数之和为偶数的概率记为
，则

A．
B．
　　 　

C．
D．

4．根据如下样本数据

x

3

4

5

6

7

8



y

4.0

2.5



0.5









得到的回归方程为
，则

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

5．设
是关于t的方程
的两个不等实根，则过
,
两点的直线与双曲线
的公共点的个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

6．已知
是定义在上的奇函数，当
时，
. 则函数

的零点的集合为

A.
B.

C.
D.

7.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )种

A 10 B 8 C 9 D 12

8.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点
到直线
的距离是

A
B 3 C 1 D 2

9.
若
是
的最小值，则的取值范围为（ ）

(A)[0，2] (B)[-1,2] (C)[1，2] (D)[-1，0]

10.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为
的共有（ ）

A.60对 B.48对 C.30对 D.24对

二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．

11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.

12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为 .

13.若
的展开式中
项的系数为
，则函数
与直线
、
及x轴围成的封闭图形的面积为---------------

14.已知

……

根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．

15、如图，在正方体
中，点
为线段
的中点。设点在线段
上，直线
与平面
所成的角为，则
的取值范围是-----------------------

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．

16.（不等式选讲本小题满分12分）已知函数
.

（1）解不等式
； （2）若
，求证：

17、（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）

（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？

（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

附：

18、(本小题满分12分)在平面
内，不等式
确定的平面区域为
，不等式组
确定的平面区域为
.

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域
任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域
的概率；

（Ⅱ）在区域
每次任取个点，连续取
次，得到
个点，记这
个点在区域
的个数为
，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，
分别是正三棱柱
的棱
、
的中点，且棱
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）在棱
上是否存在一点
，使二面角
的大小为
，若存在，求
的长，若不存在，说明理由。

20.(本小题满分13分)

如图,在平面直角坐标系
中,
分别是椭圆
的左、右焦点，顶点的坐标为
，连结
并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结
.

(1)若点C的坐标为
,且
,求椭圆的方程；

(2)若
求椭圆离心率e的值.

21、(本小题满分14分)

已知函数
，其中
，
为自然对数的底数。

（Ⅰ）设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；

（Ⅱ）若
，函数
在区间
内有零点，求的取值范围。

上高二中2013—2014学年高二下学期期末考试数学（理）答案

1—5 BACBD 6---10 CDCAB 11．1800 . 12．1067. 13. 2-2cos2 . 14.coscos·…·cos＝，n∈N* 15.

16.（Ⅰ）∵

. ------ 1分

因此只须解不等式

. ---------- 2分

当
时，原不式等价于
，即
.------3分

当
时，原不式等价于
，即
. -----4分

当
时，原不式等价于
，即
. -------5分

综上，原不等式的解集为
. …6分

（Ⅱ）∵

--------- 8分

又0时，

∴0时，

. …12分

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.

17.第1问3分+.第2问4分+.第1问5分=12分



18. 解：（Ⅰ）依题可知平面区域
的整点为：
共有13个，上述整点在平面区域
的为：
共有3个，

∴
. ……………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）依题可得，平面区域
的面积为
，

平面区域
与平面区域
相交部分的面积为
.

（设扇形区域中心角为，则
得
，也可用向量的夹角公式求）.

在区域
任取1个点，则该点在区域
的概率为
，随机变量
的可能取值为：
.

，
，

，
，

∴
的分布列为

0

1

2

3















∴
的数学期望：
.………………（12分）

（或者：
～
，故
）.

19.解】【法一】（Ⅰ）在线段
上取中点，连结
、
.

则
，且
，∴
是平行四边形……3′

∴
，又
平面
，
平面
，

∴
平面
.……5′

（Ⅱ）由
，
，得
平面
.

过点作
于
，连结
.

则
为二面角
的平面角……8′

在
中，由
，
得

边上的高为
，∴
，又
，

∴
，∴
.……11′

∴
在棱
上时，二面角
总大于
.

故棱
上不存在使二面角
的大小为
的点
. ……12′

【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，

则
、
、
、
、
、
.

∴
、
、
、
、
、

、
.……4′

（Ⅰ）∵
且
平面
，

∴
平面
.……5′

（Ⅱ）取
，则
，
.

∴
，
，即
为面
的一个法向量………7′

同理，取
，则
，
.

∴
，
，
为平面
的一个法向量……9′

，∴二面角
为
.

又∵
，∴二面角
大于
. ……11′

∴
在棱
上时，二面角
总大于
.

故棱
上不存在使二面角
的大小为
的点
. ……12′

20. .第1问5分+.第2问8分=13分

21. .第1问5分+.第2问9分=14分