参考公式或数据：

P(K

)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



球的表面积公式：S=
球的体积公式: V=
，
,
,

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 双曲线
的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

2.两个变量的回归模型中分别选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是（ 　　）

A．模型3的相关指数
为0.50；　　　B．模型4的相关指数
为0.25.

C．模型1的相关指数
为0.98；　　　D．模型2的相关指数
为0.80；

3. 有一段“三段论”推理是这样的：

对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点，

因为函数
在
处的导数值
，

所以
是函数
的极值点．

以上推理中（ ）

A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

4.设m,n是两条不同的直线,
是两个不同的平面,给下列条件,能得到
的是（　 　）

A．
,
B．m⊥,

C．m⊥n,
D．m∥n,

5.下面几种推理中是演绎推理的是（ ）

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

B．猜想数列
的通项公式为

；

C．半径为圆的面积
，则单位圆的面积
；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为
，推测空间直角坐标系中球的方程为
.

6.右图是一个几何体的三视图 , 根据图中数据可得该几何体的表面积是( )

(A)9π　　（B）10π (C)11π (D) 12π

7. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：

晚上

白天

合计



男婴

20

10

30



女婴

10

20

30



合计

30

30

60





你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（　 　）

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

8. 把边长为的正方形
沿对角线
折起，形成的三棱锥
的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )

A．
B．

C．
D．

9. 已知x∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为( )

A. n+1 B. n C. nn D. nn+1

10. 如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是

DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的大小是( )

A.600 B.300 C.450 D.900

11. 曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

12．非空集合
关于运算
满足：
对任意的
，都有
，
存在
，都有
，则称
关于运算
为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①
={非负整数}，
为整数的加法．②
={偶数}，
为整数的乘法．③
={平面向量}，
为平面向量的加法．④
={虚数}，
为复数的乘法．

其中
关于运算
为“融洽集”的是（ ）

A ① ② ③ ④ B ① ② ③ C ① ② D ① ③

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13.在工商管理学中，MRP指的是物质需要计划，基本MRP的体系结构如图所示．从图中能看出影响基本MRP的主要因素有_______个．

14. 若z=
，则
.

15.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为
，则该正方体的表面积为 .

16.设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3，则有d1＋d2＋d3为定值a；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1、d2、d3、d4，则有d1＋d2＋d3＋d4为定值________．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分) 已知复数
.

（1）求及
；

（2）若
，求实数
的值 .

18.（本题满分12分）

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为18cm），要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

19．（本题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形
是矩形，

平面
，
，
∥
，

，，分别是
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
．

20. （本题满分12分）

如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1 (侧棱垂直于底面).

。E、F分别是棱CC1、AB中点。

（1）求证：
；

（2）求四棱锥A—ECBB1的体积；

（3）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，并加以证明.

21.（本题满分12分）

已知椭圆
短轴的一个端点为
，离心率为
.

（I）求椭圆
的标准方程；

（II）设直线
交椭圆
于、两点，若
．求
的值.

22.(本小题满分14分）已知函数
，
，

（1）若
，求函数
的极值；

（2）若函数
在
上单调递减，求实数的取值范围；

（3）在函数
的图象上是否存在不同的两点
，使线段
的中点的横坐标
与直线
的斜率
之间满足
？若存在，求出
；若不存在，请说明理由.

2015届高二下学期期中考试数学（文）试题

参考答案

一、选择题：

DCADC,DBCCD,AD

二、填空题：

13.3 14. -i 15. 72 16. a.

三、解答题：

17. 解：
…………………… 3分

…………………… 6分

则得
，得
…… 9分

解得
…………………… 12分

18. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.…………… 3分

故长方体的体积为
…5分

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. ………… 7分

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；

当1＜x＜
时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），…………… 10分

此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. …………… 11分

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3. …12分

19. （本题满分12分）

证明：（Ⅰ）连接
，因为、分别是
,
的中点，

所以
∥
．………………………2分

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
．…………4分

（Ⅱ）连结
，
.因为
平面
，
平面
，

所以 平面
平面
…………………………………………6分

因为
，是
的中点， 所以

所以
平面
． …………………………………………8分

因为
∥
,

所以 四边形
为平行四边形，所以
. ……………………10分

又
，所以
所以 四边形
为平行四边形，

则
∥
. 所以
平面
． …………………12分

20.（1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC 又
平面ABC，
……………2分

（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC，又
平面ABC

，

平面ECBB1，…………… 5分

是棱CC1的中点，

…………… 8分

（3）解：CF//平面AEB1，…………… 9分

证明如下：取AB1的中点G，联结EG，FG

分别是棱AB、AB1中点，

又

四边形FGEC是平行四边形 ，

又
平面AEB，
平面AEB1，
平面AEB1………12分

21.由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

由已知b＝1，所以
，因为
＝，∴a2＝9，b2＝1.

∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. ------------------------6分

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由
，

得
即
-------8分

∴x1＋x2＝－
，x1x2＝
，

∴|AB|＝＝
＝.

∴
解得b=2 ------------------------------12分

22.解：（1）
的定义域为
………………………………………………1分

，…………………………………………2分

故


单调递增；

单调递减，…………………3分

时，
取得极大值
，无极小值。……………………………4分

（2）
，
，

若函数
在
上单调递增，

则
对
恒成立…………………………………5分

，只需
………………6分

时，
，则
，
，………7分

故
，的取值范围为
…………………………………8分

（3）假设存在，不妨设
，

………………………9分

…………………………………………10分

由
得