命题：许永顺

(考试时间为120分钟，满分为150分) 4.29

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.

1．复数
=（ ）

A．2+i B．2-i C1+2i D．1- 2i

2. 二项式
的展开式中含
项的系数为（ ）

A． B．
C
D．

3某次数学成绩
～
,显示
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4若（x＋1）5＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a5（x－1）5，则a0＝（ ）

A．32 B．1 C-1 D．－32

5．函数
的部分图象大致是 （ ）

6．用数学归纳法证明
，从到
，左边需要增乘的代数式为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知随机变量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是(　　)

A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6

8．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则
（ ）

A．
B．
C
D．

9.已知某旅店有A，B，C有三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有（ ）

A．42种 B．31种 C．26种 D．27种

10．设定义在上的函数
是最小正周期为
的偶函数,
是
的导函数,当
时,
;当
且
时 ,
,则函数
在
上的零点个数为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．8

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.

11．已知是虚数单位，则

12.
_________

13.甲、乙、丙，丁四人站成一排照相，甲不站在最左端，且乙不站在最右端的不同站法有 种

14.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，

A是右顶点，B是虚轴的上端点，F是左焦点，

当BF⊥AB时，此类双曲线称为“黄金双曲线”，

其离心率为
，类比“黄金双曲线”，推算出“黄金椭圆”（如图）的离心率=_________；

15. 已知
，
，
，

。

根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；

三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16．（本题满分13分）已知函数

（1）当k=0时，求函数
的图像与直线
所围封闭图形的面积；

（2）当k>0时,求函数
的单调区间。

17．（本题满分13分）若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；

（Ⅱ）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望。

18.（本题13分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC==90°，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，使平面ABD上平面BCD，如图2所示．

（I）求证：AE⊥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角A— DC—B的余弦值；

（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使EM∥平面ADC？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。

19. （本题满分13分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件个，是否加工出精品均互不影响．已知师父加工一个零件是精品的概率为
，师徒二人各加工个零件都是精品的概率为
。

（1）求：徒弟加工个零件都是精品的概率；

（2）求：徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；

20． (本题满分14分) 已知抛物线
，直线
，是抛物线的焦点。

（Ⅰ）在抛物线上求一点，使点到直线
的距离最小；

(Ⅱ) 如图，过点作直线交抛物线于A、B两点.

①若直线AB的倾斜角为
，求弦AB的长度；

②若直线AO、BO分别交直线
于
两点,

求
的最小值。

21．（本题满分14分） 已知函数
．

（1）若
在
处取得极值，求的值；

（2）求
的单调区间；

（3）若
且
，函数
，若对于
，总存在
使得
，求实数
的取值范围．

安溪一中2013—2014学年度高二（下）期中考

数学试卷（理科）

参考答案

一．选择题：共10小题，每小题5分，共50分

1.C 2. D 3. A 4. A 5.C 6. B 7.B 8.B 9. D 10. B

二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分

11. -1 12. 0 13. 14 14.

15.
　，
。

三、解答题:本大题共6小题，共80分

16解：（1）当k=0时，函数f（x）=
，由
得
，………3分

所以所求封闭图形的面积s=
=
………6分

（2）当k>0时?

………8分 由
得
，由
得
………10分 ∴f（x）的单调增区间为
单调减区间为
。………13分

17解：设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：
……2 分

有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：
………5分

（2）依据知X的可能取值为1.2.3 ………6分

且
………7分
………8分

………9分

则X的分布列如下表：

X

1

2

3



p









……11分

………13分

18（Ⅰ）因为平面
平面
，交线为
，

又在
中，
于，
平面

所以
平面
. ----------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）结论
平面
可得
.

由题意可知
，又

.

如图，以为坐标原点，分别以
所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

------------4分

不妨设
，则
.

由图1条件计算得，
，
，
则
---5分

.

由
平面
可知平面DCB的法向量为
. ---------------5分

设平面
的法向量为
，则

即

令
，则
，所以
.----------------7分

平面DCB的法向量为

所以
，

所以二面角
的余弦值为
-------8分

（Ⅲ）设
，其中
.

由于
，

所以
，其中
-------9分

所以
------10分

由
，即
-------11分

解得
. ------12分

所以在线段
上存在点
使
，且
.-------------13分

19⑴设徒弟加工个零件是精品的概率为
，则
，得
，

所以徒弟加工个零件都是精品的概率是
………5分

⑵设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为
，

由⑴知，
，师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：



1

2













………8分

徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：

0

1

2



P









………11分

所以
………13分

20

②设
,所以

所以
的方程是:
, 由
,

同理由
……9分

所以

① ……10分

设
,由
,

且
,

代入①得到:

, ……12分

设
,

,

所以此时
的最小值是
,此时
,
; … 13分

综上:
的最小值是
。 ……14分

21. （1）

…………4分

（2）

若

…………………6分

若
或
（舍去）











－

0

＋















…………………8分

（3）
由（2）得

………………9分

又

…………………11分

由

…………………14分