海珠区2013-2014学年下学期期末联考试题

高二数学（理科）

本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考室号、座位号填写在答题卡上；填写考生编号，并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回监考老师，试卷自己保管。

5．本次考试不允许使用计算器。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.下列求导运算正确的是( )

A.
B.

C.
D.

2.已知
是实数，
是纯实数，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知向量
，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点，则
的值为（ ）

A.
B.
C.10 D.4

5.设集合
，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.在高台跳水运动，运动员相对于水面的高度
（单位：
）与起跳后的时间
（单位：
）存在函数关系
，则瞬时速度为
的时刻是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.下列选项中，说法正确的是( )

A.命题“若
,则
”的否命题为:“若
,则
”.

B.命题“若
，则
”的逆命题是真命题.

C.命题“
”的否定是:“
”.

D.命题“若
,则
”的逆否命题为真命题.

8.抛物线
的焦点为
，其准线经过双曲线
的左顶点，点
为这两条曲线的一个交点，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9.定积分
= .

10.在二项式
的展开式中,含
项的系数是 .

11.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种.（用数字作答）

12.已知随机变量
的分布列是

0

1

2







0.4





则
.

13.右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽

4米，水位上升1米后，水面宽 米.

14.若等差数列
的公差为
，前
项和为
.则数列
为等差数列，公差为
.类似地，若正项等比数列
的公差为
，前n项和为
.则数列
为等比数列，公差为

.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15.（本小题满分12分）

在
中，三个内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且
、
、
成等差数列，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
、
、
成等比数列, 求证:
为等边三角形.

16.（本小题满分12分）

已知函数
的图像过点
，且在点
处的切线方 程为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

17.（本小题满分14分）

已知
盒中有2个红球和2个黑球.
盒中有2个红球和3个黑球，现从
盒与
盒中各取一个球出来再放入对方盒中.

（Ⅰ）求
盒中有2个红球的概率；

（Ⅱ）求
盒中红球数
的分布列及数学期望.

18．（本小题满分14分）

如图，在等腰直角三角形
中，
，
.点
、
分别是PB，
的中点，现将△
沿着边
折起到△
位置，使
，连结
，
.

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值.

19．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，直线
的方程为
，过点
且与直线
相切的动圆的圆心为点
，记点
得轨迹为曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的方程;

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于B，C两点，过B点作直线
的垂线，垂足为D，O为坐标原点，判断D，O，C三点是否共线？并证明你的结论.

20．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若
时，函数
的图像恒在直线
上方，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）证明：当时
，
.

海珠区2013-2014学年下学期期末联考参考答案及评分标准

高二数学（理科）

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

C

D

B

A

D

A





二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）

9.
10. 240 11. 60 12.0.6 13.
14.

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）由
成等差数列，有
，? ………2分????? 因为
为
的内角，所以
，?? ………3分? ∴
? ………4分

（Ⅱ）由
成等比数列，
，? ………6分

由余弦定理可得，
，?………8分

代入得
，即
，因此
， ………10分

从而
， 由此可得，
， ………11分

所以
为等边三角形. ………12分

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵点
在切线上，∴
.∴
. ………1分

又函数图象在点
处的切线斜率为8，∴
， ………2分

又
， ………3分

∴
. ………4分

解方程组，可得
． ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，

令
解得
…………8分

由
，可得
； ………9分

由
，可得
. …………10分

∴函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.………12分

17．（本小题满分14分）

解:（Ⅰ）
盒与
盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，
盒中还有2个红球有下面两种情况：

①互换的是红球，将该事件记为
，则：
； ………3分

②互换的是黑球，将该事件记为
，则：
； ………6分

故
盒中有2个红球的概率为
； ………8分

（Ⅱ）
盒中红球数
的所有可能取值为1，2，3. ………9分

而
；
；
；………12分

因而
的分布列为：

1

2

3













………13分

∴
. ………14分

18.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）∵点
分别是
、
的中点，

∴
………1分

∵
，∴
, ------2分

∵
, ---------3分

∴
⊥平面
. --------4分

∵
平面
,

∴
. -------5分

（Ⅱ）法1：取
的中点
，连结
、
． -------6分

∵
, ∴
. -------7分

∵
, ∴
平面
. -------8分

∵
平面
, ∴
. -------9分

∵
∴
平面
. -------10分

∵
平面
, ∴
. -------11分

∴∠
是二面角
的平面角. --------12分

在Rt△
中,
，

在Rt△
中,
， ----------13分

∴ 二面角
的平面角,
. -----14分

法2：由题意知
，建立如图所示的空间直角坐标系
． ------6分

则
（－1，0，0），
（－2，1，0），