芜湖一中2013—2014学年第二学期期中考试

高二数学（理科）试卷

一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）

1．已知命题p：函数
为R上的奇函数;命题q：若
，则a,b,c不一定成等比数列。下列说法正确的是

A．p或q 为假 B．p且q 为真 C．
且q 为真 D．
或q 为假

2．“
”是“
表示椭圆”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列说法不正确的是

A．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题等四种命题中真命题个数为偶数；

B．命题：“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”；

C．椭圆
比椭圆
更接近于圆；

D．已知直线
，则
的充分不必要条件是

4．已知椭圆的中心在原点，长轴长为6 ，一条准线方程为x=9 ，则该椭圆的标准方程为

A．
B．
C．
D．

5．若曲线
的一条切线l与直线
垂直，则切线l的方程为

A．
B．
C．
D．

6．设函数
在定义域内可导，
的图象如下左图所示，则导函数
的图象可能是



7．已知点M在双曲线
上，它到左准线的距离为，则它到左焦点的距离为

A．7 B．3 C．
　　 　 D．

8．抛物线
上的点到直线
的最短距离为

A．
B．
C．
D．

9．若斜率为
的直线与双曲线
恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
在点P处的切线与函数
在点Q处的切线平行，则直线PQ的斜率为

A．
B．
C．2 D．

二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）

11．命题“
都有
”的否定是

12．函数
的单调递增区间是

13．已知命题p：
，命题q：对数函数
在
上是递增函数，如果命题“
”是假命题，那么实数a的取值范围是

14．若线段
与椭圆
没有交点，则实数k的取值范围是

15．已知过抛物线
的焦点F的直线交抛物线于
、
两点，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线l相交于P、Q两点，下列命题正确的是 （请填上正确命题的序号）

①
②
③
=

④
⑤以线段MF为直径的圆必与y轴相切

芜湖一中2013—2014学年第二学期期中考试

高二数学（理科）答题卷

一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）

11． 12．

13． 14． 15．

三、解答题（本大题共5题，共50分）

16．（本题8分）已知双曲线C：
的右焦点为F（2,0），一条准线方程为

（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；

（2）求与双曲线C共渐近线且过点
的双曲线方程。

17．（本题8分）已知函数

（1）求
在
上的极大值与极小值；

（2）若函数
在
上是减函数，求实数m的取值范围。

18．（本题10分）已知函数
在
处的切线与x轴平行

（1）求a的值和函数
的单调区间；

（2）若函数
的图像与抛物线
恰有三个不同交点，求b的取值范围。

19．（本题12分）已知
为抛物线C：
上一点

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）设A、B抛物线C上异于原点O的两点且
，求证:直线AB恒过定点，并求出该定点坐标；

（3）在（2）的条件下，若过原点O向直线AB作垂线，求垂足P（x,y）的轨迹方程。

20．（本题12分）已知O为原点，
是椭圆C:
上任意两点，向量
，且
，椭圆的离心率
，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）三角形AOB的面积是否为定值？若是，请证明并求出这个定值；若不是，请说明理由。

高二年级数学期中考试试卷（理科）答案

选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

A

C

B

C

A

B

B

D

B





填空题（本大题共5题，每题4分，共20分）

12.
13.

15.①②③⑤

解答题：（本大题共5题，共50分）

16.（本题8分）已知双曲线C：
的右焦点为F（2,0），一条准线方程为

求双曲线C的标准方程和渐近线方程；

（2）求与双曲线C共渐近线且过点
的双曲线方程。

解：（1）双曲线C：
，渐近线方程：
（4分）

（2）
（8分）

17.（本题8分）已知函数

（1）求
在
上的极大值与极小值；

（2）若函数
在
上是减函数，求实数m的取值范围。

解：（1）
，（1分）由
的变化情况如下表：

x



-1

(-1,1)

1







+

0

-

0

+





增

极大值

减

极小值

增



故当x=-1时，f(x)取极大值1；当x=1时，f(x)取极小值-1 （4分）

由（1）知，函数f(x)在[-1,1]上单调递减，故
（6分）

于是
，即
（8分）

18.（本题10分）已知函数
在
处的切线与x轴平行

求a的值和函数
的单调区间

若函数
的图像与抛物线
恰有三个不同交点，求b的取值范围。

解:(1)
, （2分）

,由
得
，所以函数
的单调递增区间是
，单调递减区间为
（4分）

令
，

，（6分）

由
得
，即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故当
时，g(x)取极大值
,当
时，

g(x)取极小值
，（8分）

函数
的图像与抛物线
恰有三个不同交点即函数g(x)有三个零点，故
，所以
（10分）

19.（本题12分）已知
为抛物线C：
上一点

求抛物线的标准方程；

（2）设A、B抛物线C上异于原点O的两点且
，求证:直线AB恒过定点N，并求出定点N坐标；

（3）在（2）的条件下，若过原点O向直线AB作垂线，求垂足P（x,y）的轨迹方程。

解：（1）
（3分）

当直线的斜率存在时，设直线l:y=kx+m,
联立
得
，依题意有
，则

即
=0

，化简得
，故
,此时直线l:y=kx-4k=(x-4)k, 恒过点N（4,0）

当直线l的斜率不存在时，设l:x=t,可解得t=4,故直线恒过定点N（4,0） （8分）

注：本题也可以先由
，解得
，再结合韦达定理求出定点坐标，同样给分；

P点在以ON为直径的圆周上（除去原点），故点P的轨迹方程为：

（12分）

20.（本题12分）已知O为原点，
是椭圆C:
上任意两点，向量
，且
，椭圆的离心率
，

求椭圆C的标准方程；

三角形AOB的面积是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由。

解：（1）
（5分）

由
得
（6分）

当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：
，联立
消去y得

故

即
化简得