安徽省铜陵市第五中学2013-2014学年高二下学期5月月考 数学理试题

（ 时间：120分钟 满分：150分 ）

一、选择题（每题5分，共50分）

1．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则(? )．

A．?p：?x∈R，sin x≥1 B．?p：?x∈R，sin x≥1

C．?p：?x∈R，sin x>1 D．?p：?x∈R，sin x>1

2．已知命题p
,命题q
,则下列命题中为真命题的是（）

A．p∧q B． p∧q C．p∧q D． p∧q

3．已知数列
，则“
”是“数列
为递增数列”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．已知命题p：“?x∈R，?m∈R，使4x＋2x·m＋1＝0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是

A. (－∞，－2] B. [2,+∞)

C. (－∞，－2) D. (2,+∞)

5．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是（??? ）

A.
B.
C.
或
D.

6．已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为(　　)

A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线

7．已知双曲线
的离心率为，一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

8已知
为坐标原点，为抛物线
的焦点，为
上一点，若
，则△
的面积为（ ）

A.2 B.
C.
D.4

9. 已知
，则
的最小值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝
，则下列结论中错误的是 (　　)．

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A-BEF的体积为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

二、填空题（每题5分，共25分）

11．若命题“?x∈R, 2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是_______．

12．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的__________条件．

13. 13．P为双曲线
右支上一点，M、N分别是圆
和
上的点，则
的最大值为________．

14. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交

其准线于点C. 若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．

15.下列命题中，真命题的有________.（只填写真命题的序号）

①若
则“
”是“
”成立的充分不必要条件；

②若椭圆
的两个焦点为
，且弦
过点
，则
的周长为

③若命题“
”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；

④若命题：
，
，则
：
．

三、解答题（16-20每题12分，21题15分）

16．已知命题：方程
有两个不相等的负实根，命题：

恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．

17． 已知直线
经过抛物线
的焦点，且与抛物线交于
两点，点
为坐标原点.



（Ⅰ）证明：
为钝角.

（Ⅱ）若
的面积为，求直线
的方程;

18．已知双曲线C与椭圆
有相同的焦点，实半轴长为
.

(Ⅰ)求双曲线
的方程；

(Ⅱ)若直线
与双曲线
有两个不同的交点和,且

(其中
为原点),求
的取值范围.

19．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,且过点
.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点
，若是椭圆上的动点，求线段
的中点
的轨迹方程.

20．如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面
，
，
分别为
的中点，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
．

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

21．已知椭圆
和圆
：
，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；

（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得
，求椭圆离心率e的取值范围；

（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，
是否为定值？请证明你的结论．

铜陵市第五中学高二月考

数学试卷（理）答案

一、选择题(每题5分，共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

B

A

C

A

A

C

B

D





二、填空题(每题5分，共25分)

11. [-2
,2
] 12. 充分不必要

13. 5 14. y2＝3x 15. ①③④

三、解答题（16-20每题12分，21题15分）

16.当真时，可得
，解之得

当真时，得到：
，解之得

∵或为真，且为假 ∴真假或假真

若真假时，由

若假真时，由

所以的取值范围为
.

17. (I)依题意设直线
的方程为：
（
必存在）

，
设直线
与抛物线的交点坐标为
，则有

，依向量的数量积定义，
即证
为钝角

(Ⅱ) 由（I）可知
,
,

,
直线方程为

18. (Ⅰ)设双曲线的方程为
,
,
,

故双曲线方程为
.

(Ⅱ)将
代入
得

由
得
且

设
,则由
得

=

,得

又
，
,即

19. (1)由已知得椭圆的半长轴
，半焦距
，则半短轴
.

又椭圆的焦点在轴上, ∴椭圆的标准方程为
.

(2)设线段
的中点为
,点的坐标是
，

由
，得
，

由点在椭圆上,得
,

∴线段
中点
的轨迹方程是
.

20．（Ⅰ）∵四边形
是菱形，∴
．

在
中，
，
，∴
．

∴
，即
．又
， ∴
．

∵
平面
，
平面
，∴

．又∵
，

∴
平面
又∵
平面
，平面
平面
．

（Ⅱ）解法一：由（1）知
平面
，而
平面
，

∴平面
平面

∵
平面
，∴
．

由（Ⅰ）知
，又

∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
．

∴平面
是平面
与平面
的公垂面．

所以，
就是平面
与平面
所成的锐二面角的平面角．

在
中，
，即
．

又
，

∴
．所以，平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
．

（Ⅱ）解法二：以为原点，
、
分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系
，如图所示．因为
，
，所以，

、
、
、
，

则
，
，
．

由（Ⅰ）知
平面
，故平面
的一个法向量为
．

设平面
的一个法向量为
，

则
，即
，令
，则
．

∴

所以，平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
．

21. （1）（ⅰ）∵ 圆
过椭圆的焦点，圆
：
，∴
，

∴
，
，∴
．

（ⅱ）由
及圆的性质，可得
，∴

∴
∴
，
．

（2）设
，则
, 整理得

∴
方程为：
,
方程为：
．

从而直线AB的方程为：
．

令
，得
，令
，得
，

∴
，

∴
为定值，定值是
.