天津市天津一中2013-2014学年高二下学期期中考试 理科数学

一、选择题：

1．复数

A．
B．
C．
D．

2．“
”是“复数
(
R，为虚数单位)为纯虚数”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．命题“存在
R，
0”的否定是

A．不存在
R,
>0 B．存在
R,
0

C．对任意的
R,
0 D．对任意的
R,
>0

4．在用数学归纳法证明凸边形内角和定理时,第一步应验证

A．
时成立 B．
时成立

C．
时成立 D．
时成立

5．已知函数
的导函数为
，且满足
，则

A．1 B．－1 C．－e－1 D．－e

6．若
,
,
,则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

7．曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是

A．
B．
C．
D．

8．已知
，且
，现给出如下结论：

①
；②
；③
；④

其中正确结论的序号是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

9．设
,若函数
有大于零的极值点,则

A．
B．
C．
D．

10．定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立，则

A．
B．

C．
D．

二、填空题：

11．观察下列等式:
,…,根据上述规律,第五个等式为__________.

12．已知
在
处有极值10，则
__________.

13．已知函数
的图像与恰有两个公共点，则
__________.

14．已知函数
在定义域
上可导，其图象如图，记
的导函数
，则不等式
的解集是__________.

15．若函数
,在
上不单调，则的取值范围是__________.

16．若关于的不等式
对任意的
恒成立，则实数的值为__________.

三、解答题：

17．已知函数

（1）求函数
的最小值；

（2）设
，求
的图象与
的图象的公共点个数。

18．已知函数

（1）若函数
在
处取得极值，且曲线
在点
处的切线与直线
平行，求的值；

（2）若
，试讨论函数
的单调性。

19．在数列
与
中，
，
，数列
的前项和
满足

，
为
与
的等比中项，
．

（1）求
，
的值；

（2）猜想数列
与
的通项公式，并用数学归纳法证明。

20．已知函数

（1）
时函数
的单调性；

（2）若
恒成立，求实数的取值范围；

（3）设
，若对任意的两个实数
满足
，总存在
，使得
成立，证明：

参考答案：

一、选择题：

1．A 2．C 3．D 4．C 5．C

6．D 7．D 8．C 9．A 10．D

二、填空题：

11．

12．-44

13．2或-2

14．

15．

16．

三、解答题：

17．解析：

（1）

在
上单调减，在
上单调增

（2）

令

由（1）问结论知
恒成立

所以
在R上单调增，

又因为

有一个公共点。

18．解析：

（1）函数f(x)的定义域为
，f′(x)＝
＋b＝
，

由题意可得
解得
所以
.

（2）若b＝
，则f(x)＝aln(2x＋1)＋
x＋1，

所以f′(x)＝
，

1°　令f′(x)＝
>0，由函数定义域可知，4x＋2>0，所以2x＋4a＋1>0，

①当a≥0时，x∈
，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

②当a<0时，x∈
，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

2°　令f′(x)＝
<0，即2x＋4a＋1<0，

①当a≥0时，不等式f′(x)<0无解；

②当a<0时，x∈
，f′(x)<0，函数f′(x)单调递减．

综上，当a≥0时，函数f(x)在区间
为增函数；当a<0时，函数f(x)在区间
为增函数；在区间
为减函数

19．解析：

由题设有
，
，解得
．由题设又有
，
，解得
．

（Ⅱ）由题设
，
，
，及
，
，

进一步可得
，
，
，
，猜想

，
，
．

先证
，
．

当
时，
，等式成立．当
时用数学归纳法证明如下：

（1）当
时，
，等式成立．

（2）假设当
时等式成立，即
，
．

由题设，

， ①

． ②

①的两边分别减去②的两边，整理得
，从而

．

这就是说，当
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
对任何的
成立．

综上所述，等式
对任何的
都成立．

再用数学归纳法证明
，
．

（1）当
时，
，等式成立．

（2）假设当
时等式成立，即
，那么

．

这就是说，当
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
对任何的
都成立．

20．解析：

（1）当
时，函数
，

则

．

当
时，
，当
时，
1，

则函数
的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，
． 4分

（2）
恒成立，即
恒成立，整理得
恒成立．

设
，则
，令
，得
．当
时，
，函数
单调递增，当

时，
，函数
单调递减，因此当
时，
取得最大值1，因而
． 8分

（3）
，
．

因为对任意的
总存在
，使得
成立，

所以
， 即
，

即

． 12分

设
，其中
，则
，因而
在区间(0，1)上单调递增，
，又
．

所以
，即
． 14分