一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. C125 + C126等于（ ）

A.C135 B. C136 C. C1311 D. A127

2．已知i为虚数单位，
，则复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知函数
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

4．用数学归纳法证明不等式
，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（ ）

A.
B.

C.
D.

5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率

是(　 )

A.　　　　　　 B. C. D.

6.由曲线y=
与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D. 16

7. 若函数
的导函数在区间
上是增函数，则函数
在区间
上的图象可能是（ ）

8. 已知函数f(x)=
在[1,+∞]上为减函数，则a的取值范围是( )

A.
　 B.
C.
　 　D.

9．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲

同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有( )

A．18种 B．24种　　　　　C．54种　　　　　D．60种

10.已知可导函数满足
满足
，则当
时，
和
大小关系为（ ）

A．
B．
　　　

C．
　　　　 　D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．设
，则
＝ ；

12．一个袋中装9个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中任意摸出4球，用X表示摸出红球的个数，则
＝ （用组合数表达）；

13．若
，则二项式
展开式中含的项的系数是 ；

14.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为 ；

15．已知函数
，当
时，
只有一个实数根；当
3个相异实根，现给出下列4个命题：

函数
有2个极值点；

函数
有3个极值点；

③关于x的方程
=4与方程
=0有一个相同的实根

④关于x的方程
=0和
=0有一个相同的实根

其中正确命题的序号有________________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知z是复数，z-3i，
均为实数，（i为虚单位），求复数z。

17.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(0,0) ，(2,0)．

(1)求a，b的值；

(2)求x0及函数f(x)的表达式．

18．（本小题满分12分）若
都是正实数，且
求证：
与
中至少有一个成立.

20. （本小题满分13分）

已知数列
的前项和为
，且
（
）

（1）求
的值；

（2）猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明．

21. （本小题满分14分）已知函数

(1)若
在
处取得极值，求ａ的值；

(2)讨论
的单调性；

(3)证明：
为自然对数的底数）

参考答案

由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1. --------------------12分

18．证明：假设
和
都不成立，则有
和
同时成立，

因为
且
，

所以
且

两式相加，得
.

所以
，这与已知条件
矛盾.

因此
和
中至少有一个成立. ---------------12分

19.解（1）第一步；选3名男运动员，有
种选法，第二步；选2名女运动员，有
种选法，故共有
种选法…………………………4分

（2）法一：（直接法）：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

由分类加法计数原理知共有
种选法.……8分

法二：（间接法），不考虑条件，从10人中任选5人，有
种选法，其中全是男运动员的选法有
种，故“至少有1名女运动员”的选法有
（种）.………………………8分

（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有
种选法；不选女队长时，必选男队长，共有
种选法，其中不含女运动员的选法有
种，故不选女队长时共有
种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有
（种）.……………………………………12分

20.解：（Ⅰ）当n=1，
…………………………………………………1分

当
，……………3分

同理可得
……………………………………………………5分

（Ⅱ）猜想
…………………………………………………………7分

下面用数学归纳法证明：

ⅰ）当
时
，猜想成立 ……………………………8分

ⅱ）假设当
时猜想成立，即

那么当
时，

，

∴

∴

解得

即
时猜想成立 …………………………………………………13分

21解：（1）
一个极值点，则

，验证知a=0符合条件。…………………3分

（2）

1）若a=0时，

单调递增，在
单调递减；

2）若

上单调递减

3）若

再令

在

综上所述，

若
上单调递减，

若

。

若
9分

(3) 由（2）知，当

当

14分