安徽师大附中2013-2014学年第二学期期中考查

高二数学试题（理）

命题教师：章伟

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．命题“对任意的
”的否定是（ ）

A. 存在
B.存在

C. 不存在
D.对任意的

2. 已知＝(2,4,5)， ＝(3，x，y)，若∥，则(　　)

A. x＝6，y＝15　　　　 B. x＝3，y＝

C. x＝3，y＝15　　 D. x＝6，y＝

3. 若抛物线

的焦点与双曲线
的右焦点重合，则的值为（ ）

A. 2 B. 4 C. 8 D.

4. 若A
，B
，C
，则△ABC的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

5. 若动点与定点
和直线
的距离相等，则动点的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

6. 已知方程
，它们所表示的曲线可能是（ ）

A. B. C. D.

7．如果椭圆
的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ( )

A.
B.
C.
D.

8 .已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的必要条件而不是充分条件；③是的充分条件而不是必要条件；④是的充分条件而不是必要条件；⑤
的必要条件而不是充分条件，则正确命题序号是( )

A. ①③⑤ B. ①④⑤ C.②③④ D.③④⑤

9．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　 　)

A. －1　　 B. 0 C. 1　　 D. 以上答案都不对

10. 已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )

A.
　　　　B.
　　　　C.
　　　　D.

二、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

11．若
，则
或
的逆否命题是 .

12．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于 .

13. 已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且
满足
·
＝0，|
|·|
|＝2，则该双曲线的方程是 .

14．椭圆
上的点到直线
的最大距离是 .

15. 在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④共面的三个向量是指平行于同一个平面的的三个向量；

⑤已知空间的三个不共线的向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题是 .

三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．(6分)已知点A(3,2), 点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，求
的最小值及此时P点的坐标.

17．(8分)已知命题：方程
有两个不等的负实根， 命题：方程

无实根。若或为真，且为假。求实数的取值范围。

18. (8分) 在平面直角坐标系
中，已知动点
到点
的距离为
，到轴的距离为
，且
．

(I)求点的轨迹的方程；

(Ⅱ) 若直线
斜率为1且过点
，其与轨迹交于点
，求
的值.

19．(8分)如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
，
，
，
，为
的中点.

（Ⅰ）求直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面
内找一点
，使
面
，

并求出点
到
和
的距离.

20. (10分) 已知椭圆
左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，
），点F2在线段PF1的中垂线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.

21. (10分)如图，边长为1的正三角形
所在平面与直角梯形
所在平面垂直，且
，
，
，
，、分别是线段
、
的中点．

(I)求证：平面
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值．

高二数学理答案

A D C C D B .D A B C.

11. 若
且
，则

12. 2

13. －y2＝1.

14.

15. ④

16. [解析] 记抛物线y2＝2x的焦点为F（1,0），准线l是x= -1，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，即PF=PP/ ,

因此PA +PF=PA+ PP/ AP/=4,

此时P(1,2),

17. 解：由题意p,q中有且仅有一为真，一为假，

p真

m>2，q真
<0
1

若p假q真，则

1

综上所述：m∈(1,2]∪[3，+∞)．

18（Ⅰ）方法一： 由抛物线的定义可知，
；

方法二：

可得，

（Ⅱ） 直线
， 联立
，

得
，

．

19解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则
的坐标为
、

、
、
、

、
，

从而

设
的夹角为
，则

∴
与
所成角的余弦值为
.

（Ⅱ）由于
点在侧面
内，故可设