安徽师大附中2013-2014学年第二学期期中考查

高二数学试题（文）

命题教师：章伟

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．命题“对任意的
”的否定是（ ）

A. 存在
B.存在

C. 不存在
D.对任意的

2. 准线方程为x=3的抛物线的标准方程为 （ ）

A．y2=－6x B．y2=6x C．y2=－12x D．y2=12x

3. 函数y=x2cosx的导数为（ ）

A．y′=x2cosx-2xsinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=2xcosx-x2sinx D．y′=xcosx-x2sinx

4. 若抛物线

的焦点与双曲线
的右焦点重合，则的值为（ ）

A. 8 B.
C. 4 D. 2

5. 若动点与定点
和直线
的距离相等，则动点的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

6. 已知方程
，它们所表示的曲线可能是（ ）

A. B. C. D.

7. 如果椭圆
的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ( )

A.
B.
C.
D.

8．函数
在
时有极值10，则的值为（ ）

Ａ．-3或4 Ｂ．4 Ｃ．-3 Ｄ．3或 4

9. 已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )

A.
　　　　B.
　　　　C.
　　　　D.

10. 若
的大小关系 ( )

A．
B．
C．
D．与x的取值有关

二、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

11．若
，则
或
的逆否命题是 .

12．若
，则
= .

13. 已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足
·
＝0，|
|·|
|＝2，则该双曲线的方程是 .

14．已知
是椭圆
上的点，则
的取值范围是 .

15. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件， 是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的必要条件而不是充分条件；③是的充分条件而不是必要条件；④是的充分条件而不是必要条件；⑤
的必要条件而不是充分条件，则正确命题序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．(8分)设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. 求函数f(x)的单调区间和极值.

17．(8分) 已知命题：方程
有两个不等的负实根， 命题：方程

无实根。若或为真，且为假。求实数的取值范围.

18. (8分) 在平面直角坐标系
中，已知动点
到点
的距离为
，到轴的距离为
，且
．

(I)求点的轨迹的方程；

(Ⅱ) 若直线
斜率为1且过点
，其与轨迹交于点
，求
的值.

19．(8分) 已知函数f(x)＝x3－3x2＋2x

（Ⅰ）在
处的切线平行于直线
，求
点的坐标；

（Ⅱ）求过原点的切线方程.

20. (9分) 已知椭圆
左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，
），点F2在线段PF1的中垂线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.

21. (9分) 已知函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极小值；

（Ⅱ）设函数
，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量

使得
的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明

理由？

高二数学（文）答案

A C． Ｃ A D B D B C. D

11. 若
且
，则

12.

13. －y2＝1.

14.

15. ①③⑤

16.解：　f′(x)＝3x2－6x＋2.

（1）设
，则
，解得
. 则

（2） ⅰ）当切点是原点时k＝f′(0)＝2，

所以所求曲线的切线方程为y＝2x.

ⅱ）当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，

则有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①

又k＝＝x－3x0＋2，②

由①②得x0＝，k＝＝－.

∴所求曲线的切线方程为y＝－x.

17. 解：由题意p,q中有且仅有一为真，一为假，

p真

m>2，q真
<0
1

若p假q真，则

1

综上所述：m∈(1,2]∪[3，+∞)．

18. （Ⅰ）方法一： 由抛物线的定义可知，
；

方法二：

可得，

（Ⅱ） 直线
， 联立
，

得
，

．

19【解】 由已知得f?(x)＝6x[x－(a－1)]，令f?(x)＝0，解得 x1＝0,x2＝a－1，.

（Ⅰ）当a＝1时，f?(x)＝6x2，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增

当a＞1时，f?(x)＝6x[x－(a－1)]，f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x

(－∞,0)

0

(0,a－1)

a－1

(a－1,＋∞)



f?(x)

＋

0



0





f(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗



从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.

20. 解：（Ⅰ）由椭圆C的离心率
得
，其中
，

椭圆C的左、右焦点分别为
又点F2在线段PF1的中垂线上

解得

-------（4分）

（Ⅱ）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为
由

消去
设

则
且

----------（8分）

由已知， 得

化简，得

--------（10分）

整理得

直线MN的方程为