高2012级第四期期中考试数学试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为( )

A. 若a＞b，则有2a≤2b－1. B. 若a≤b，则有2a≤2b－1.

C. 若a≤b，则有2a＞2b－1. D. 若2a≤2b－1，则有a≤b.

2. 抛物线
的焦点坐标是( ) .

A.
B.
C.
D.

3. 函数
,则
（ ）.

A.
B.
C.
D.

4. 直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为(　　)．

A．m＜1 B．－3＜m＜1 　 C．－4＜m＜2　　D．0＜m＜1

5.已知椭圆
，则以点
为中点的弦所在直线方程为( ).

A.
B.
C.
D.

6.已知O为坐标原点，直线
与圆
分别交于A,B两点．若
，则实数
的值为（ ）.

A．1 B．
C．
D．

7. 在
上可导的函数
的图形如图所示，则关于
的

不等式
的解集为（ ）.

A、
B、

C、
D、

8.已知双曲线
与抛物线
有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若
, 则此双曲线的离心率等于( ).

A.
B.
C.
　　 D.

9.已知P是双曲线
的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( ).

A.双曲线的焦点到渐近线的距离为
;

B.若
，则e的最大值为
;

C.△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b ;

D.若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则
.

10.若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数
都满足：
和
恒成立，则称此直线
为
和
的“隔离直线”．已知函数
.有下列命题：

①
在
内单调递增;

②
和
之间存在“隔离直线”, 且b的最小值为-4;

③
和
之间存在“隔离直线”, 且k的取值范围是
;

④
和
之间存在唯一的“隔离直线”
.

其中真命题的个数有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，请将答案填写在答题卷上相应的位置。

11. “x>1”是“
”的____________条件(填充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要).

12. 与双曲线
有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．

13. 已知点M是抛物线
上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:
上，则
的最小值为__________.

14.一轮船行驶时，单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km?时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化.已知该轮船最高速度为25km/h, 则轮船速度为 km/h时，轮船航行每千米的费用最少.

15．下列命题正确的有___________

①已知A,B是椭圆
的左右两个顶点, P是该椭圆上异于A,B的任一点,则
.

②已知双曲线
的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则
的最小值为－2.

③若抛物线
:
的焦点为
，抛物线上一点
和抛物线内一点

，过点Q作抛物线的切线
，直线
过点
且与
垂直，则
平分
；

④已知函数
是定义在R上的奇函数,
, 则不等式
的解集是
.

高2012级第四期期中考试数学试题（理科）

二、填空题:

11.______________ 12. 13.

14._____________ 15.____________________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.已知圆C过原点且与
相切，且圆心C在直线
上.

(1)求圆的方程；(2)过点
的直线l与圆C相交于A,B两点, 且
, 求直线l的方程.

17. 已知抛物线
.命题p: 直线l1:
与抛物线C有公共点. 命题q: 直线l2:
被抛物线C所截得的线段长大于2. 若
为假,
为真,求k的取值范围.

18.设函数
.

(1)求f(x)的单调区间和极值;

(2)关于
的方程f(x)=a在区间
上有两个根,求a的取值范围.

19.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为
，右焦点F与点
的距离为2。

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在斜率
的直线
使直线
与椭圆相交于不同的两点M,N满足
，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由。

20.如图，已知直线l与抛物线
相切于点P(2,1)，且与
轴交于点A，定点B的坐标为(2,0) .

（1）若动点M满足
，求点M的轨迹C；

（2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

21.已知函数
。

(1)若
的单调减区间是
,求实数a的值;

(2)若函数
在区间
上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；

(3)(、(是函数
的两个极值点，(<(，
。求证：对任意的
，不等式
成立
.

高2012级第四期期中考试数学试题（理科）参考答案

选择题:BCBDC DAADC

填空题:11.充分不必要 12.
13.4 14.20 15.②③④

16.解：（1）由题意设圆心
,则C到直线
的距离等于
,
, 解得
, ∴其半径

∴圆
的方程为
　　　　 (6分)

(2)由题知,圆心C到直线l的距离
. 　　 (8分)

当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立 　　　　　　 (9分)

若l的斜率存在时,设
,由
得
,解得
,

∴
. (11分)

综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0.　　　　　　　　　　　 (12分)

17.解:若p为真,联立C和l1的方程化简得
.

时,方程显然有解;
时,由
得
且
. 综上
(4分)

若q为真, 联立C和l2的方程化简得
,

时显然不成立;∴
,

由于l2是抛物线的焦点弦, 故
,解得
且
. (8分)

∵
为真,
为假,∴p,q一真一假.

若p真q假, 则
或
; 若q真p假, 则
.

综上
或
或
. (12分)

18. 解:(1)
,由
得
(2分)

x



0



3





f’(x)

-

0

+

0

-



f(x)

↘

极小值-1

↗

极大值

↘



 (4分)

由上表得, f(x)的单调增区间为
,单调减区间为
,
;

当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值
. (6分)

(2)由题知,只需要函数y= f(x) 和函数y=a 的图像有两个交点. (7分)

,所以

由(1)知f(x)在,当
上单调递减,
上单调递增,在
在上单调递减. (10分)

∴当
或
时, y= f(x) 和y=a 的图像有两个交点.即方程f(x)=a在区间
上有两个根. (12分)

19.解：（1）依题意，设椭圆方程为
，则其右焦点坐标为
，由

，得
，即
，解得
。 又 ∵
，∴
，即椭圆方程为
。 (4分)

（2）方法一:由
知点
在线段
的垂直平分线上，由
消去
得
即
（*） 　　　 ( 5分)

由
,得方程(*)的
,即方程(*)有两个不相等的实数根。 (6分)

设
、
，线段MN的中点
，则
，

，

，即

，∴直线
的斜率为
， (9分)

由
，得
，∴
，解得：
， (11分)

∴ l的方程为
或
。 　　　　　　 　 ( 12分)

方法二:直线l恒过点(0,-2), 且点(0,-2)在椭圆上, ∴不妨设M(0,-2), 则|AM|=4 (6分)

∴|AN|=4, 故N在以A为圆心, 4为半径的圆上,即在
的图像上.

联立
化简得
,解得
(8分)

当y=-2时,N和M重合,舍去. 当y=0时,
, 因此
(11分)

∴ l的方程为
或
。 　　 　 ( 12分)

20解：（I）由
得
, ∴
.∴直线
的斜率为
，

故
的方程为
，∴点A的坐标为(1,0). (2分)

设
,则
(1,0),
,
，由

得
，整理，得
. 　 (4分)

(2)方法一:如图，由题意知
的斜率存在且不为零，设
方程为
①，将①代入
，整理，得

,设
,
,则
②
得
(7分)

令
， 则
，由此可得
，

，且
.∴

由②知
，
.

∴
, 　　 (10分)

∵
，∴
，解得
且
　 (12分)

又∵
， ∴
，

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（
,1）. 　　 (13分)

方法二: 如图，由题意知l’的斜率存在且不为零，设l’ 方程为
①，将①代入
，整理，得
,设
,
,则
② ;
(7分)

令
， 则
，由此可得
，
，且
.

∴
(10分)

∵
, ∴
,解得
且
　 (12分)

又∵
， ∴
，

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（
,1）. 　　 (13分)

21.解: (1) 由题得
,

要使
的单调减区间是
则
,解得
; (2分)

另一方面当
时
,

由
解得
,即
的单调减区间是
.

综上所述
.