本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）

1．曲线y＝x3－2在点(1，－)处切线的倾斜角为(　 　)

A．30° B．45° C．135° D．150°

2．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为(　 　)

A．29 B．31 C．32 D．33

3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　 　)

A．e2 B．e C．ln 22 D． ln 2

4．曲线y＝cosx
与坐标轴所围成图形面积是(　 　)

A．4　　　　 B．2　　　 C．　　　　 D．3

5．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)

A．增函数 B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减

C．减函数 D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增

6．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是(　 　)

A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除

C．a，b有一个能被5整除 D．a，b有一个不能被5整除

7．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　 　)．

A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点

8．设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是(　 　)

A． a2＋b2＋2≥2a＋2b B．ln(ab＋1)≥0

C．＋≥2 D．a3＋b3≥2ab2

9．在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若
，

则x＋y＋z等于(　 　)

A．
B．

C． D．

10．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　 　)

A．20 B．18 C．3 D．0

11．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…

A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项

12．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　 　)

A．一定大于0 B．一定等于0

C．一定小于0 D．正负都有可能

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为 ．

14．
则常数T的值为 ．

15．在
类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两

垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为__________________________．

.

16．若函数
在区间
上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）

若
，求证：
.

18．（本题满分12分）

已知函数
在
处取得极值－2.

（1）求函数
的解析式；

（2）求曲线
在点
处的切线方程；

19．（本题满分12分）

用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．

20．（本题满分12分）

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

（1）求证：AB1⊥面A1BD；

（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；

（3）求点C到平面A1BD的距离；

21．（本题满分12分）

在数列
中，
，且
成等差数列，
成等比数列
.

(1)求
；

(2)根据计算结果，猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．

22．（本题满分12分）

已知

(1)求函数
的单调区间;

(2)求函数
在

上的最小值;

(3)对一切的
,
恒成立,求实数的取值范围.

桂林中学2013—2014学年下学期期中考试高二数学（理）科答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

D

A

B

C

D

B

A

D

A





二、填空题：

13、 14、3

15、
16、

三、解答题：

17、证明：

………5分

所以，原不等式得证。………………10分

19、解：　设容器底面宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.

由
解得0

设容器的容积为ym3，则有

y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，………………6分

y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，

令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，

解得x＝1，或x＝－(舍去)．………………8分

∵00；1

∴在定义域(0,1.6)内x＝1是唯一的极值点，且是极大值点，

∴当x＝1时，y取得最大值为1.8. ………………10分

此时容器的高为3.2－2＝1.2m.

因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3. ………………12分

20、解：（1）取
中点
，连结
．
为正三角形，
．

在正三棱柱
中，平面
平面
，

平面
．

取
中点
，以
为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，

，
，
．

，
，

，
．

平面
．………………4分

（2）设平面
的法向量为
．

，
．

，
，

令
得
为平面
的一个法向量．

由（Ⅰ）知
平面
，
为平面
的法向量．

，
．

二面角
的余弦值为
．………………9分

（3）由（Ⅱ），
为平面
法向量，

．

点
到平面
的距离
．………………12分

21、解：（1）由已知条件得

由此算出

（2）由（1）的计算可以猜想
．

下面用数学归纳法证明：

①当
时，由已知
可得结论成立。

②假设当

时猜想成立，即
．

那么，当
时

因此当
时，结论也成立．

当①和②知，对一切
，都有
成立．………12分

22、解：(1)

………4分