命题时间: 2014年4月7日

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）

1．曲线y＝x3－2在点(1，－) 处切线的斜率为(　 　)

A．
B． C．
D．

2．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为(　 　)

A．29 B．31 C．32 D．33

3．是虚数单位，复数
=（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知f(x)＝xln x，若f ′ (x0)＝2，则x0等于(　 　)

A．e2 B．e C．ln 22 D．ln 2

5．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

6．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是(　 　)

A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除

C．a，b有一个能被5整除 D．a，b有一个不能被5整除

7．已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则(　　)

A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点

B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点

C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点

D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点

8．定义在R上的可导函数 f(x)=x2 + 2xf′(2)+15，

在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,

则m的取值范围是(　　)

A.m≥2 B.2≤m≤4

C.m≥4 D.4≤m≤8

9．对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在

极值点的充要条件是(　　)

A.a=0或a=7 B. a<0或a>21

C. 0≤a≤21 D. a=0或a=21

10．阅读如图所示的程序框图，

运行相应的程序，

则输出S的值为（ ）

A．8 B. 18

C．26 D．80



11．设函数
. 若实数a, b满足
, 则

A．
B.
（ ）

C.
D.

12．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有 | f(x1)－f (x2)|≤ t，则实数t的最小值是(　 　)

A．20 B．18 C．3 D．0

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为 ．

14． 在

类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，

若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的

高为h，则得到的正确结论为__________________________．

15．已知复数
，且
，则
的最大值为 .

16．若函数
在区间
上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）

若
，求证：
.

18．（本题满分12分）

已知函数
在
处取得极值－2.

（1）求函数
的解析式；

（2）求曲线
在点
处的切线方程；

19．（本题满分12分）

已知
,且
，求证：

20．（本题满分12分）

用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

21．（本题满分12分）

已知函数f(x)=x3-ax-1,

(1)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.

(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.

22．（本题满分12分）

设函数

．

(1) 当
时,求函数
的单调区间；

(2) 当
时,求函数
在
上的最小值和最大值
．

桂林中学2013—2014学年下学期期中考试

高二文科数学答案

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

B

D

B

A

D

C

C

A

A





二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13、  14、

15、
16、

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17、（本题满分10分）

证明：

………5分

所以，原不等式得证。………………10分

18、（本题满分12分）

19、（本题满分12分）

证明：

20、（本题满分12分）

解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为

由
解得
，………………3分

故长方体的容积为

………………6分

从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x (1－x)，

令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)， ………………8分

当00；

当 时，V′(x)<0，

故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，

从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13 ＝ 3 (m3 ) ………10分

此时容器的高为4.5－3＝1.5 m.

因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 m3. ………………12分

21、（本题满分12分）

解： (1) ∵f′(x)=3x2-a, 由条件f′(x)≥0，即a≤3x2在x∈R时恒成立.

而3x2≥0, ∴a≤0, ∴实数a的取值范围是(-∞,0].

(2) 由条件f′(x)≤0 即a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.

∵x∈(-1,1)时,3x2∈[0,3), ∴只要a≥3即可,

∴实数a的取值范围是[3,+∞).

22、（本题满分12分）

解：对函数
求导得
.

(1)当
时，
，由
，

可知
,
在上单调递增.

（2）方法一：当
时，
，

其图像开口向上，对称轴
，且过点

（i）当
，即
时，
，

在
上单调递增，从而当
时，
取得最小值
，当
时，
取得最大值
.

（ii）当
，即
时，令
解得
，

注意到
， 所以
.

因为
，

所以
的最小值
；