一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.设
那么下列结论正确的是 (　D　)

A.
B.

C．
D．

2.已知函数y＝f(x)为可导函数，且
，则曲线y＝f(x)在（1，f(1)）处切线的斜率为 (A )

A．2　　 　B．-2　　　　 C．-1　　　 D.1

3．已知函数f(x)
，设a＝f(
)，b＝f(0)，c＝f(3)，则 (　D　)

A．a

4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于 ( C)

A．11或18 B．11 C．18 D．17或18

5．在等差数列
中，满足
，且
，
是数列
的前n项和。若
取得最大值，则
( C )

A． B． C． D．

6．已知函数f(x)＝sin x－x(x∈[0，π])，那么下列结论正确的是 ( C )

A．f(x)在上是增函数 B．f(x)在上是减函数

C．?x∈[0，π]，f(x)≤f() D．?x∈[0，π]，f(x)>f()

7．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 (　C　)

A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限

8.由曲线
，直线
所围成的平面图形的面积为 ( B )

A．
B．
C．
D．

9.已知函数
，正实数
是公差为正数的等差数列，且满足
．若实数是方程
的一个解，那么下列四个判断：①
；②
；③
；④
中有可能成立的个数为 （ D ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①③

10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx. 若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，则的范围 （ B ）

A．（-2,1]　 B．(－∞，－2)∪[1，＋∞)．　 C．（
， 1]．　D. [-2,
]

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

11.计算定积分
(x2＋sin x)dx＝________.

12. 已知函数
是奇函数且是上的增函数，若
满足不等式
，则
的最大值是____8__.

13.已知函数
是偶函数，
是奇函数，正数数列
满足
，
，求数列
的通项公式为____
____________．

14.设a＝
dx，对任意x∈R，不等式a(cos2x－m)＋πcos x≥0恒成立，则实数m的取值范围为_(－∞，－3]_______．

15.下列命题中：①在
中，若
，则
是等腰直角三角形；

②奇函数
在区间
上是单调减函数．

③如果正实数
满足
，则
；

三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）已知函数
，若
时，
有极值.

处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
.

（1）求函数
的解析式。

（2）若函数
的图像与直线
有三个不同的公共点，求实数的取值范围.

解析：

得
2分

设切线l的方程为
，由原点到切线l的距离为
，

则
4分

∵切线不过第四象限，
切线l的方程为
，

由于切点的的横坐标为x=1，∴切点坐标为（1，4），

∵
∴
.

6分

（2）由（1）知
，

所以
，令
．

∴
极大值=
=13，
极小值=
=

∴
12分

17（12分）。在
中，角A、B、C的对边分别为
，满足

且
，求证：
为正三角形

解析：

∴
, 5分

∵

11分

∴
,即得证
为正三角形 12分

积．

（1）求
的表达式； （2）当为何值时，
取得最大值？

解析（1）
，∴PE⊥平面ABC，即PE为四棱锥P-ACFE的高，由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴
，由题意知
，∴
，?∴

，而PE=EB=x，

7分

（2）

∴V（x）在x=6时取极大值也即最大值V(6)=
12分

19（12分）. 已知数列
满足
．

（1）求证：数列
为等比数列；

（2）是否存在互不相等的正整数
使
成等差数列，且
， 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的
，；如果不存在，请说明理由．

解析：因为
，所以
．所以
．

因为
，则
．所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列． -----------------------4分

（2）由（1）知，
，所以
．----------------6分

假设存在互不相等的正整数，，满足条件，

则有
由
与
，

得
．

即
．因为
，所以
．

因为
，当且仅当
时等号成立，

这与
互不相等矛盾．所以不存在互不相等的正整数
满足条件．-------12分

20（13分）. 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．

(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；

(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．

解析： (1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①

由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，

则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.

而g(x)的图象关于y轴对称，所以m＝－3.代入①得n＝0.

于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，-------6分

∴f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(0,2)．（注：用∪扣2分）

(2)由(1)得

①当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；

②当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；

③当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

④当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．

综上得，当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；

当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；

当a＝1或a≥3时，f(x)无极值． -- -13分

21（14分）.已知函数
，，函数
的图象在点
处的切线平行于轴．

（1）确定与
的关系；

（2）试讨论函数
的单调性；

（3）证明：对任意
，都有
成立。

（1）依题意得
，则

由函数
的图象在点
处的切线平行于轴得：

∴
-------------------------------------------------------------------------2分

（2）由（1）得

----------------------3分

∵函数
的定义域为

∴①当
时，
在
上恒成立，

由
得
，由
得
，

即函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递减；----------------------------4分

当
时，令
得
或
，

②若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；----------------5分

③若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；-----------6分

④若
，即
时，在
上恒有
，

即函数
在
上单调递增，------------------------------------------------------------------7分

综上得：当
时，函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递减；

当
时，函数
在
单调递增，在
单调递减；在
上单调递增；

当
时，函数
在
上单调递增，

当
时，函数
在
上单调递增，在
单调递减；在
上单调递增．

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分

（3）证法一：由（2）知当
时，函数
在
单调递增，
，即
，------------11分

令
，则
，-------------------------------------12分

即
---------------------------------------------- -----------------------------14分

【证法二：构造数列
，使其前项和
，

则当
时，
，------ -----------------------11分

显然
也满足该式，

故只需证
--------------------------------------------------------12分

令