2015届侨光中学高二年下学期第二次阶段考试

数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置.

1. 已知
为虚数单位，
，则复数
对应的点位于(★★)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.命题“
使
”的否定是(★★)

A.
使
B.
使

C.
使
D.
使

3．已知两条直线
和
互相垂直，则
等于(★★)

A. 2　　　 B. 1　　　 C. 0　　 　 D.

4. 小芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．

“六一”节 需选择一套服装参加歌舞演出，则小芳有几种不同的选择方式（★★）

A．24 B．14 C．12 D．9

5.随机变量
服从正态分布
，且

，则
等于（★★）

A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

6. 在边长等于1的等边△ABC中，表达式
等于（★★）

A．
B．
C．
D．

7. 已知
中，
,则角
（★★）

A.
B.
C.
或
D.
或

8．在
的展开式中，
的项的系数是（★★）

A.45 B.50 C.55 D.60

9. 下列结论正确的是（★★）

A．当
且
时，
≥
B．当
≥
时，
的最小值为

C．当
时，
≥
D．当
≤
时，
无最大值

10. 下列函数中，在区间
上为增函数的是（★★）

A．
B．
C．
D．

11. 设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题正确的是（★★）

A. 若
，
，则
B. 若
与
所成的角相等，则

C. 若
，
，则
D. 若
，
，则

12.对于三次函数
，定义
是
的导函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数
都关于点
对称：

②存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

③存在三次函数
, 若
有实数解
，则点
为函数
的对称中心；

④若函数
，则:

其中所有正确结论的序号是(★★)

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.

13. 抛物线
的焦点坐标为 ★★ .

14. 已知向量
，
，若
与
共线，则
★★ .

15.右图中的三个直角三角形是一个体积为
的几何体的三视图，

则
★★
.

16. 由直线
，
，曲线
及
轴所围成的图形的

面积是 ★★ .

17. 计算
，可以采用以下方法：

构造恒等式
，两边对x求导，得

，在上式中令
，得

．

类比上述计算方法，计算
★★　 ．

三、解答题：本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡相应位置.

18. (本题满分12分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.

（1）求选出的4名选手均为男选手的概率.

（2）记
为选出的4名选手中女选手的人数，求
的分布列和期望.

19. (本题满分13分）已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期及最小值；

（2）在
中,内角
的对边分别为
，若
，
，

求
的面积.

20. (本题满分13分）如图，五面体
中，
．底面
是正三角形，
．四边形
是矩形，二面角
为直二面角．

(1) 当
为
中点时，求证：
平面
；

(2) 在（1）条件下，求二面角
的余弦值．

21. (本题满分13分）已知椭圆
过点
，且离心率
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设直线
与曲线
交于
、
两点，当线段
的中点在直线
上时，求直线
的方程.

22. (本题满分14分）已知函数
．

（1）当
时，①若
的图象与
的图象相切于点
，求
及
的值；

②
在
上有解，求
的范围；

（2）当
时，若
在
上恒成立，求
的取值范围．

2015届侨光中学高二年下学期第二次阶段考试

数学（理科）试题参考答案

一、1—5.BDDBB 6—10.ACACC 11-12.DC

二、13.
14. 3 15. 2 16. 2 17.

三、答案仅供参考，不同解法由阅卷老师自定评分标准。

18.解：（Ⅰ）事件
表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知

.

（Ⅱ）
的可能取值为
.
，

，
，

.

的分布列：
























.

19.（I）依题意，得

∴
的最小正周期为
，
的最小值为
．

∴根据余弦定理得，
,

∴
，∴

20.解：（Ⅰ）证明:连结
交
于
,连结

∵ 四边形
是矩形 ∴
为
中点

又
为
中点,从而

∵
平面
,
平面

∴
平面

（Ⅱ）建立空间直角坐标系
如图所示,

则
,
,
,
,

所以
,
．
[来源:Zxxk.Com]

设
为平面
的法向量,则有
，即

令
,可得平面
的一个法向量为
,

而平面
的一个法向量为

所以
，

所以二面角
的余弦值为

21.解：（Ⅰ）由题意得
解得
，所以椭圆
的方程为

（2）设
,
的中点

得
,

①－②得

即
又
，

，得直线
的方程为
.

22.解：⑴

①

，

②
即
与
在
上有交点

，
时
在
上递增，
；

时
在
上递增，在
上递减且
，

时，
；
时，

⑵
即
，

即
在
上恒成立，

令
，

令
，则
为单调减函数，且
，

∴当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，

若
，则
在
上单调递增，∴
，∴
；

若
，则
在
上单调递增，
单调递减，∴
，∴

∴
时，
；
时，
．