2014.04

本试卷考试时间为120分钟，总分为160分

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，总分70分）

1. 命题“

”的否定是“ ”．

2. 设复数
（为虚数单位），则的虚部是 ．

3. 观察下列不等式：1＞
，1+
+
＞1，1+
+
+…+
＞
，1+
+
+…+
＞2，1+
+
+…+
＞
，…，由此猜测第n个不等式为 　 　（n∈N*）．

4. 函数
的定义域是　 　．

5. 幂函数 f（x）=xα（α∈R） 过点
，则 f（4）=　 　．

6.将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有

种。（用数字作答）

7. 用数学归纳法证明
，在验证n=1成立时，等式左边是

8. 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 种选法（用数字作答）．

9. 若函数
为区间[﹣1，1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值是　　．

10.在平面直角坐标系中，设三角形
的顶点分别为
，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设
均为非零实数，直线
分别交
于点
，一同学已正确算的
的方程：
，请你求
的方程： ( )

11. 如果不等式
的解集是区间
的子集，则实数的取值范围

是

12.已知集合
，则实数m的取值范围为

13. 定义函数
（K为给定常数），已知函数
，若对于任意的
，恒有
，则实数K的取值范围为 ．

14. 不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为　　．

二、解答题（总分90分）

15. （14分）已知命题
，命题
。

（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m=5，“
”为真命题，“
”为假命题，求实数x的取值范围。

16. （14分）已知关于x的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b．

（1）求实数a，b的值．

（2）若复数z满足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值．

17. （15分）设函数
的定义域为E，值域为F．

（1）若E={1，2}，判断实数λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣
与集合F的关系；

（2）若E={1，2，a}，F={0，
}，求实数a的值．

（3）若
，F=[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．

18. （15分）规定
=
，其中
是正整数，且
=1，这是组合数
(
是正整数，且
)的一种推广．

(1)求
的值；

(2)设
，当为何值时，
取得最小值?

(3)组合数的两个性质：①
=
； ②
+
=

是否都能推广到
(
是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

19. （16分）定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有
．

（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．

（2）若
对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

20. （16分）设正整数数列
满足：
，且对于任何
，有
．

（1）求
，
；

（2）求数列
的通项
．

高二数学阶段测试答案

1.

，
2. -1 3.　1+
+
+…+
＞
　．

4. {
} 5.2　 6.240 7.

8. 310 9. 1 10.
11.

12.
13.
14. [﹣8，4]

15.解：（1）p是q的充分条件，

则实数m的取值范围为

（2）

16.解答：

解：（1）∵b是方程x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，

∴（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i=0，

∴
解之得a=b=3．

（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|，

得（x﹣3）2+（y+3）2=4（x2+y2），

即（x+1）2+（y﹣1）2=8，

∴z点的轨迹是以O1（﹣1，1）为圆心，2
为半径的圆，如图所示，

如图，

当z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，

∵|OO1|=
半径r=2
，

∴当z=1﹣i时． |z|有最小值且|z|min=
．





17.：

解：（1）∵
，∴当x=1时，f（x）=0；当x=2时，f（x）=
，

∴F={0，
}．

∵λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣16
=lg2（lg2+lg5）+lg5﹣
=lg2+lg5﹣
=lg10﹣
=
．

∴λ∈F．…（5分）

（2）令f（a）=0，即
，a=±1，取a=﹣1；

令f（a）=
，即
，a=±2，取a=﹣2，

故a=﹣1或﹣2．…（9分）

（3）∵
是偶函数，且f'（x）=
＞0，

则函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．

∵x≠0，∴由题意可知：
或0＜
．

若
，则有
，即
，

整理得m2+3m+10=0，此时方程组无解；

若0＜
，则有
，即
，

∴m，n为方程x2﹣3x+1=0，的两个根．∵0＜
，∴m＞n＞0，

∴m=
，n=
．…（16分）





18.

∵
当且仅当
时，取等号

∴当
时，
取得最小值．……………………8分

(3)性质①不能推广．例如当
时，
有意义，但
无意义；

性质②能推广，其推广形式是：
，
是正整数，

……………………12分

事实上，当
时，有
，

19.

解答：

解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，

则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1＜x2．

则f（x1）﹣f（x2）=f（x1 ）+f（﹣x2）=
[x1+（﹣x2）]．

由于
＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．

这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．

（2）由于
对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）．

由于由（1）可得，函数f（x）是[﹣1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，

∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0．

令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有
，

解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}．





20．解：（1）据条件得
①

当
时，由
，即有
，

解得
．因为
为正整数，故
．

当
时，由
，

解得
，所以
．

（2）方法一：由
，
，
，猜想：
．

下面用数学归纳法证明．

1
当
，时，由（1）知
均成立；

2
假设
成立，则
，则
时

由①得

因为
时，
，所以
．

，所以
．

又
，所以
．

故
，即
时，
成立．

由1
，2
知，对任意
，
．

（2）方法二：

由
，
，
，猜想：
．

下面用数学归纳法证明．

1
当
，时，由（1）知
均成立；

2
假设
成立，则
，则
时

由①得

即
　　　　　　②

由②左式，得
，即
，因为两端为整数，

则
．于是
　　　　③

又由②右式，
．

则
．

因为两端为正整数，则
，

所以
．

又因
时，
为正整数，则
　　　　④

据③④
，即
时，
成立．

由1
，2
知，对任意
，
．