长葛市第三实验高中2013—2014学年下学期第一次考试试卷

高二数学（理科）命题人：高二数学组

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答卷前考生务必将自己的班级、姓名、考号和考试科目用钢笔分别填在答题卷密封线内。

3．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案务必答在答题卷中，否则不得分；答题卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在上面每题对应的答题区域内，在试题卷上作答无效。

4．考试结束后，只把答题卷交回（试题卷自己保留好，以备评讲）。

第I卷（60分）

一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）

1.根据偶函数定义可推得“函数
在上是偶函数”的推理过程是( )

A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.非以上答案

2．用演绎法证明函数
是增函数时的小前提是

A．增函数的定义 B．函数
满足增函数的定义

C．若
，则
D．若
，则

3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：


按照上面的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

A．24 B．26 C．28 D．30

4．函数
的极大值为
，那么的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若函数
，则
（ ）

A.
B.
C. D.

6、凡自然数都是整数，而 4是自然数 所以，4是整数。以上三段论推理（ ）

(A) 正确 (B) 推理形式不正确

(C)两个“自然数”概念不一致 (D) 两个“整数”概念不一致

7、函数
的单调递增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、设定义在
上的可导函数
的导函数

的图象如右所示,则
的极值点的个数为 （ 　）

A．1　　 　　 B．2　　　 　

C．3　　　 　 D．4

9、函数
，则（ ）

（A）在
上递增； （B）在
上递减；

（C）在
上递增； （D）在
上递减

10．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理( )

A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的

11．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程
有有理根，那么
中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是

A．假设
都是偶数 B．假设
都不是偶数

C．假设
至多有一个是偶数 D．假设
至多有两个是偶数

12、由直线
，
，曲线
及轴所围成的图形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题:(本题共4个小题，每小题5分，共20分)

13、若函数
在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________

14. 函数
的的单调递减区间是

15、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第4个图案中有白色地面砖________________块.

16.已知
,
,
,
,…,由此你猜想出第n个数为

三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17、(本题满分10分).证明： 已知
，则

18、(本题满分12分) 已知x= - 是函数f(x)=ln(x+1)-x+x2的一个极值点。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线方程

19．（本小题满分12分）

已知
，试证明
至少有一个不小于1.

20．（本小题满分12分）

设数列
的前项和为
，且满足

．

（Ⅰ）求
，
，
，
的值并写出其通项公式；

（Ⅱ）用三段论证明数列
是等比数列．

21、（本小题满分12分）

设
，

（1）若
在
处有极值，求a；

（2）若
在
上为增函数，求a的取值范围.

22．（本小题满分12分）

设
为三角形
的三边，求证：

长葛市第三实验高中2013—2014学年下学期第一次考试试卷

高二数学（理科）参考答案及评分建议

1.C2B3B4C5B6A7C8C9D10A11B12D

13. -1/2 14
15.18 16

17.
，要证明
，即证明
必须证
，

必须证
；即证
；而
显然成立。故原不等式成立。

18、解：（Ⅰ）f(x)=ln(x+1)- x + x2,∴f＇(x)=　-1+ax

由于x=-是函数f(x)的一个极值点.∴f＇(- )=0, 即2-1-=0,故a=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f＇(x)=+2x-1 从而曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=,又f(1)=ln2,

故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x+ln2- 。

19.证明：假设
均小于1，即
，则有

而
，矛盾. 所以原命题成立

20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由
，得
；
；
；
，

猜想

． …………………………6分

（Ⅱ）因为通项公式为
的数列
，若
，是非零常数，则
是等比数列；

因为通项公式
，又
；所以通项公式
的数列
是等比数列．…………………12分

21. 解：（1）由已知可得f(x)的定义域为
，又
，-2分

由已知
.------------------3分

经验证得
符合题意----------------------------4分

（2）解：
对
恒成立，
，-----7分

因为
，所以
的最大值为

的最小值为
，---------11分

又
符合题意， 所以
；-------------------12分

22、解：证明：要证明：
需证明：a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)---- -4分

需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需证明a+2ab+b+abc>c ------------8分

∵a,b,c是
的三边∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0 ∴a+2ab+b+abc>c

∴
成立。 -------------12