说明：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．

2、将第I卷的答案代表字母和第II卷的填空题的答案填在第II卷的答题表（答题卡）中．

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．复数
等于（ ）

（A）
（B）
（C） （D）

2. 已知函数
有极大值和极小值，则实数的取值范围 是( )

（A）
(B)
（C）
(D)
3．设是虚数单位，若复数
是纯虚数，则的值为( )

（A）
（B）
（C） （D）3

4. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有(　　)．

（A）300种 （B）240种 （C）144种 （D）96种

5．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点．因为
在
处的导数值
，所以
是函数
的极值点．以上推理中　(　　)

（A）大前提错误 （B）小前提错误

（C）推理形式错误 （D）结论正确

6. 用数学归纳法证明
（
），在验证当
时，等式左边应为（ ）

（A） 1 （B）
（C）
（D）

7．设
，
，
，则P，Q，R的大小顺序是( 　)

（A）
（B）
（C）
（D）

8.设直线
与函数
的图象分别交于点
,则当
达到最小时的值为( )

（A） 1 （B） （C）  （D） 

9.曲线
与直线
所围成图形的面积为(　　)

（A） （B） （C）1 （D）2

10.函数
的定义域为，
，对任意
，都有
＜
成立，则不等式
的解集为 （ ）

（A）（-2，2） （B）（-2，+）

（C）（-，-2） （D）（-，+）

11．已知点列如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，……，则
的坐标为(　)

（A）
（B）
（C）
（D）

12.已知函数
是偶函数，且
时，
恒成立，又
，则
的解集为(　)

（A）(－∞，－2)∪(4，＋∞) （B）(－6，－3)∪(0，4)

（C）(－∞，－6)∪(4，＋∞) （D）(－6，－3)∪(0，＋∞)

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．复数满足
，那么
．

14.若
上是减函数，则
的取值范围是

15.由曲线
和直线
，
及轴所围图形的面积为 .

16．已知
，经计算得
，
，
，
，
，推测当
时，有不等式 成立．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知复数
．

（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是：①实数； ②纯虚数；

（Ⅱ）当
时，化简
．

18.( 本小题满分12分)

已知点在曲线
上，它的横坐标为
，过点作曲线
的切线.

(1)求切线的方程；

(2)求证：由上述切线与
所围成图形的面积
与无关．

19.（本小题满分12分）

（1）
的三边
的倒数成等差数列,求证：
；

（2）设
，求证：
．

20. （本小题满分12分）

已知函数
（
是不为零的实数，为自然对数的底数）.

若曲线
与
有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求
的值；

若函数
在区间
内单调递减，求此时
的取值范围.

21. （本小题满分12分）

已知数列
中，前项和为
，且

(1)求
的前5项；

（2）猜想
，并用数学归纳法证明．

22. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）若存在
，使
成立，求的取值范围；

（2）当
时，
恒成立，求的取值范围.

郑州一中网校2013—2014学年（下）期中联考

高二理科数学参考答案

即
时，复数为纯虚数． 　......5分

（Ⅱ）当
时，
，

......10分

18. 解：(1)点P的坐标为(a，a2－1)，

设切点Q的坐标为(x，x2)，

由kPQ＝及y′＝2x知＝2x，

19、(1)证明：（反证法）由题意得： =  + ．

∵3x2－2xy＋3y2＝3(x－)2＋y2>0成立，

∴原式成立．......12分

20. （1）设曲线
与
有共同切线的公共点为
，则
．

又曲线
与
在点
处有共同切线，且
，
，

∴
， 解得
．......4分

要使得函数
在区间
内单调递减，则有

解得
．......8分

综上，当
时，函数
在区间
内单调递减.......12分

21.(1)
; .....4分(2)
.......6分，数学归纳法证明......12分

22. （1）
即
令

时，
时，

在
上减，在
上增.

又
时，
的最大值在区间端点处取到.

，

在
上最大值为
，故的取值范围是
......6分

（2）由已知得
时，
恒成立，

设

由（2）知
当且仅当
时等号成立，

故
，从而当

即
时，
为增函数，又

于是当
时，
即
，
时符合题意.

由
可得
从而当
时，

故当
时，
为减函数，又

于是当
时，
即

故
不符合题意.综上可得的取值范围为
.......12分