2013学年第一学期“温州四校”期末联考

高二数学（理科）试题

命题：苍南中学 黄小雁 审题：苍南中学 熊天越 2014.1

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1、“a

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2、已知
，
，
，
不共线，其中共线的是（ ）

A.
B.

C.
D.
两两不共线

3、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）

A.
B.
C.
D.

4、已知平面
，m是
内不同于
的直线，那么下列命题中错误的是（ ）

A.
B.

C.
D.

5、若函数
的图像关于点
中心对称，那么
的可能值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6、在正方体
中，E是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7、已知
，
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8、圆
与直线
的位置关系为（ ）

A.相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都有可能

9、三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面△ABC内一点，定义
，其中
分别是三棱锥M-PAB，三棱锥M-PBC，三棱锥M-PCA的体积。若
，且
恒成立，则正实数
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10、已知椭圆
的离心率为
，动
是其内接三角形，且
。若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11、直线
的倾斜角为_______________。

12、已知点
满足
，则
的取值范围是_____________。

13、四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，且顶点P在底面ABCD的射影为底面的中心，若
，棱锥体积为
，则侧棱AP与底面ABCD所成的角是____________。

14、已知函数
，且关于x的方程
有且只有一个实根，则实数
的取值范围是________________。

15、已知点
是双曲线E：
上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为
，则该双曲线的渐近线方程为___________________。

16、如图，在直角梯形ABCD中，
，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是_______（填上所有正确的序号）。

①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有
;

②不论D折至何位置都有
;

③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有
;

④在折起过程中，一定存在某个位置，使
。

17、抛物线
的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足
，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为_________________。

三、解答题（本大题共4小题，第18、19题各12分，第20、21题各14分，共52分）

18、已知

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）在
中，已知A为锐角，
，求AC边的长。

19、等比数列
的各项均为正数，且
，

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和。

20、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=
，
.

（1）求证：CD⊥面ABF；

（2）试在棱DE上找一点P使得二面角B-AP-D的正切值为
，并证明之。

21、如图，椭圆C：
的顶点为
,
,
,
,焦点为
，
，
，

平行四边形A1B1A2B2的面积是平行四边形B1F1B2F2的面积2倍。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设n是过原点的直线，
是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，
，是否存在上述直线
使
成立？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由。

2013学年第一学期“温州四校”期末联考

高二数学（理科）参考答案

命题学校：苍南中学 命题：黄小雁（13566104760） 审题：熊天越

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1~5 CBBDC 6~10 BACAC

10、设
，
，则

由
，得
．

因为C是椭圆上一点，所以

得
(定值) 设

所以

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11、
12、
13、
14、
15、

16、①②④ 17、

三、解答题（本大题共4小题，第18、19题各12分，第20、21题各14分，共52分）

18、解：（1）
………………………3分

即
的单调递增区间为
………………………………6分

（2）由
……………………………………………………………9分

………………………………………………………12分

19、（1）设
的公比为q（q>0），则

……………4分

………………………………………………………6分

（2）

………………………………………………………8分

………………………………………………………9分

…………12分

20、法一：（1）过B点作BG//CD，交AC于点G，

易证得BG⊥AB

又

…………………………………………6分

(2) 过点B作BH⊥AD，垂足为H

过点H作HO⊥AP，垂足为O，连结BO

…………………………………………10分

求得
，即点H为AD的四等分点

设
，易求得

即当点P为DE的中点时，二面角B-AP-D的正切值为
…………………………14分

法二（向量法）(1)以A为坐标原点，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则
，
，
，
，
…………………………………………3分

设面ABF的一个法向量为
则有

令
，则

…………………………6分

(2)由题意可知，面APD的一个法向量
……………………………8分

同理可求得面ABP的一个法向量
…………………10分

由题意，
求得

又

即当点P为DE的中点时，二面角B-AP-D的正切值为
……………………14分

21、(1)

又∵

…………………………………………4分

（2）假设存在

①若直线
的斜率存在，设

…………………………………………6分

由
得

设
，则

…………………………………………10分

将
代入化简得
矛盾

此时，直线
不存在 …………………………………………12分

②当
垂直于x轴时，满足
的直线为

当x=1时，
，

当x=-1时，同理可得

综上，不存在直线
使
成立 …………………………………………14分