台州中学2013学年第二学期期中试题

高二 数学(理)

命题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合
，下列关系式中成立的为 （ ）

A．
　　 B．
　 C．
D．

2. 右图中阴影部分表示的集合是 （ ）

A．
　　 　B．

C．
　　　 D．

3. 若
满足
, 则直线
过定点 ( )

A.
B.
C.
D.

4．已知条件
：
，条件
：圆
与圆
相切，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5．已知命题
：
，命题
：
若
为假命题，

则实数
的取值范围为(　　)

A．
B．
或
C．
D．

6．若直线
与平面
、
、
满足
∥
，
，则有（ ）

A．
∥
且
B．
⊥
且
C．
⊥
且
∥
D．
∥
且
⊥

7.直线
倾斜角的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

8．如图1，在等腰△
中，
，

，
分别是
上的点，

，
为
的中点．将

△
沿
折起，得到如图2所示的四棱锥
．若
平面
，则
与平面
所成角的正弦值等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．离心率为
的椭圆
与双曲线
有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线
的离心率等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义一种运算
，令
(
为常数) ,且
，则使函数
的最大值为
的
的集合是 ( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分.将答案直接答在答题卷上的指定位置）

11. 求值：
.

12. 已知
，
，则
.

13．已知函数
，则
．

14.如下图为一个几何体的三视图，尺寸如下图所示，则该几何体的体积为_____________.

15.若直线
：
被圆
：
截得的弦长为4，则
的值为 ．

16.若
对任意的
都成立，则
的最小值为 　　 ．

17．已知点
，抛物线
的焦点为
，线段
与抛物线
的交点为
， 过
作抛物线准线的垂线，垂足为
．若
，则
．

三、解答题（本大题共5小题, 共49分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）

18．(本小题满分8分)已知
是关于
的二次方程
，
的两个实数根，求：

（1）
的值；（2）
的值．

19．(本小题满分8分)已知
；
,若
是
的必要非充分条件，求实数
的取值范围．

20.(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系
中，平行于
轴且过点
(3，2)的入射光线
被直线
反射．反射光线
交
轴于
点，圆
过点
且与
都相切.

（1）求
所在直线的方程和圆
的方程；

（2）设
分别是直线
和圆
上的动点，求
的最小值及此时点
的坐标．

21．(本小题满分10分)如图，四棱锥
的底面ABCD是平行四边形，
，
，
面
，设
为
中点，点
在线段
上且
．

（1）求证：
平面
；

（2）设二面角
的大小为
，

若
，求
的长．

22．（本小题满分13分）如图，椭圆
：
（
）和圆
，已知圆
将椭圆
的长轴三等分，且圆
的面积为
.椭圆
的下顶点为
，过坐标原点
且与坐标轴不重合的任意直线
与圆
相交于点
，直线
与椭圆
的另一个交点分别是点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）（Ⅰ）设
的斜率为
，直线
斜率为
，

求
的值；

（Ⅱ）求△
面积最大时直线
的方程．

台州中学2013学年第二学期期中参考答案

高二 数学(理)

一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

B

A

D

B

C

B

A

C



二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分．

11.
12. -2 13.
14.
15.
16.
17.

三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．(本小题满分8分)已知
是关于
的二次方程
，
的两个实数根，求：

（1）
的值；（2）
的值．

(本小题满分8分)已知
；
,若
是
的必要非充分条件，求实数
的取值范围．

20. 如图，在平面直角坐标系
中，平行于
轴且过点
(3，2)的入射光线
被直线
反射．反射光线
交
轴于
点，圆
过点
且与
都相切.

（1）求
所在直线的方程和圆
的方程；

（2）设
分别是直线
和圆
上的动点，求
的最小值及此时点
的坐标．

（Ⅰ）直线l1：y＝2, 设l1交l于点D，则D（
，2） ∵l的倾斜角为30°,∴l2的倾斜角为60° ∴

∴反射光线l2所在直线的方程为

即

已知圆C与l1切于点A，设 C(a , b )

∵圆心C在l垂直的直线上，∴
①

又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上， ∴
②

由①②得
圆C的半径r＝3 故所求圆C的方程为

（Ⅱ）设点B(0, －4）关于l的对称点B′(x0 ,y0) 则
且

得B′(
, 2) , 固定点Q可发现，当B′，P，Q共线时，PB＋PQ最小，故PB＋PQ最小值为B′C－3

解得
∴ PB＋PQ最小值为B′C－3＝

21、解：（Ⅰ）由
，
得
，